Aussage über eine vereinfachte Stetigkeitsbedingung für Operatoren zwischen Banachräumen.

Sind V und W Vektorräume, und ist T : V → W eine Abbildung, so nennt man die Menge \begin{eqnarray}\{(x,T(x))|x\in V\}\subseteq V\times W\end{eqnarray} den Graphen von T. Es gilt dann der folgende Satz.

Es seien V und W Banachräume und T : V → W ein linearer Operator, dessen Graph in V × W abgeschlossen ist. Dann ist T stetig.

Die Aussage bleibt auch dann richtig, wenn man allgemeiner Fréchet-Räume anstelle von Banachräumen betrachtet.

Der Vorteil des Kriteriums des abgeschlossenen Graphen im Vergleich zum üblichen Kriterium der Übertragung von Folgengrenzwerten durch einen stetigen Operator liegt darin, daß man bei Operatoren zwischen Banachräumen von einer konvergenten Folge (x_n, T(x_n)) im Graphen ausgehen und somit bereits voraussetzen kann, daß die Folge T(x_n) konvergiert, sodaß zum Stetigkeitsnachweis nur noch gezeigt werden muß, daß T(x_n) tatsächlich gegen T(x) geht.

In allgemeinen normierten Räumen ist es nicht möglich, von einer bereits konvergenten Folge T(x_n) auszugehen. Daß diese Aussage im Falle von Nicht-Banachräumen nicht mehr allgemein gilt, zeigt das folgende Beispiel: Man setze V = C¹[0, 1] und W = C[0, 1], jeweils versehen mit der Maximumnorm. Dann hat der Operator T : V → W, definiert durch T(f) = f′, zwar einen abgeschlossenen Graphen, ist aber nicht stetig.