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Lexikon der Mathematik: scattered data-Interpolation

Interpolation von verteilten Daten.

Eine einfache Variante einer solchen Problemstellung ist die folgende: Seien Punkte x1,…, xN ∈ ℝn und Werte y1, …,yN ∈ ℝm gegeben. Gesucht ist eine Funktion f : ℝn → ℝm mit f(xi) = yi. In Anwendungen ist typischerweise n, m gleich 1, 2, 3, und N kann sehr groß sein (z. B. 106). An f werden Forderungen hinsichtlich Glattheit und Beschränktheit von Ableitungen gestellt.

Eine stetige Interpolante ist direkt durch die sogenannte Shephard-Funktion gegeben.

Glatte C-Interpolanten lassen sich mit der Methode der radialen Basisfunktionen erzeugen. Dies umfaßt die Lösung eines linearen Gleichungssystems und erfordert für großes N zusätzliche Überlegungen.

Ein lokales Verfahren besteht in der Unterteilung des ℝn in Finite Elemente, deren Ecken die gegebenen Punkte xi sind, und dem Bestimmen von Interpolationsfunktionen, die innerhalb eines Elements definiert sind und an den Ecken die vorgeschriebenen Werte annehmen. Es gibt Standard-Methoden, die gewährleisten, daß die Vereinigung der lokalen Interpolanten stetig oder sogar glatt ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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