Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: schlichte Funktion

eine in einem Gebiet G ⊂ ℂ holomorphe Funktion f, die injektiv in G ist, d. h. sind z1, z2G mit z1z2, so ist f (z1) ≠ f(z2).

Ist f schlicht in G, so ist f eine konforme Abbildung des Gebietes G auf das Gebiet f(G). Eine notwendige aber im allgemeinen nicht hinreichende Bedingung für die Schlichtheit von f in G ist f′(z) ≠ 0 für alle zG. Für eine hinreichende Bedingung sei auf den Satz von Noshiro-Warschawski verwiesen. Ist f eine in ganz ℂ schlichte Funktion, so ist f von der Form f (z) = az + b mit a, b ∈ ℂ und a ≠ 0.

Man nennt eine in G holomorphe Funktion f lokal schlicht in G, falls es zu jedem Punkt z0G eine offene Kreisscheibe Br(z0) ⊂ G gibt, in der f schlicht ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn f′(z) ≠ 0 für alle zG.

Eine besondere Rolle spielt die Klasse \({\mathscr{S}}\) aller in der offenen Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}\) schlichten Funktionen f mit f(0) = 0 und f′(0) = 1. Die in einem gewissen Sinne wichtigste Funktion in \({\mathscr{S}}\) ist die Koebe-Funktion. Zentrale Ergebnisse über Funktionen \(f\in {\mathscr{S}}\) sind z. B. der Satz von de Branges (Bieberbachsche Vermutung), der Koebesche 1/4-Satz und der Koebe-Fabersche Verzerrungssatz. Aus letzterem folgt insbesondere, daß S eine normale Familie ist.

Von Interesse sind auch Teilklassen von \(f\in {\mathscr{S}}\), von denen hier drei behandelt werden.

(1) Eine Funktion \(f\in {\mathscr{S}}\) heißt konvex, falls das Bildgebiet \(f\text{(}{\mathbb{E}}\text{)}\) eine konvexe Menge ist. Die Klasse aller dieser Funktionen wird mit \({\mathscr{C}}\) bezeichnet. Eine in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion f mit f(0) = 0 und f′ (0) = 1 gehört zu \({\mathscr{C}}\) genau dann, wenn \begin{eqnarray}\text{Re}\,\left(1+\frac{z{f}^{\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)})\right\gt 0,\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Die Funktion , definiert durch (z) ≔ z/(1 – z), liegt in \({\mathscr{C}}\), denn es gilt \begin{eqnarray}\ell ({\mathbb{E}})=\left\{z\in {\mathbb{C}}:\text{Re}\,z\gt -\frac{1}{2}\right\}.\end{eqnarray}

Für die Klasse \({\mathscr{C}}\) gilt die folgende Verschärfung des Satzes von de Branges.

Es sei\(f\in {\mathscr{C}}\)und\(f(z)=z+\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}\)die Taylor-Reihe von f um 0. Dann gilt |an| ≤ 1 für alle n ≥ 2. Ist |an| = 1 für ein n2, so ist f eine Rotation der Funktion , d. h. f (z) = e−iϕ(ez) mit einem ϕ ∈ ℝ.

Ebenso gilt eine Verschärfung des Koebeschen 1/4-Satzes.

Es sei\(f\in {\mathscr{C}}\). Dann enthält das Bildgebiet\(f({\mathbb{E}})\)die offene Kreisscheibe B1/2(0) mit Mittelpunkt 0 und Radius\(\frac{1}{2}\).

Die Aussage dieses Satzes ist bestmöglich, wie man am Beispiel der Funktion erkennt.

(2) Eine Funktion \(f\in {\mathscr{S}}\) heißt sternförmig, falls das Bildgebiet \(f({\mathbb{E}})\) ein Sterngebiet mit Zentrum 0 ist. Die Klasse aller dieser Funktionen wird mit \({\mathscr{S}}\text{*}\) bezeichnet. Offensichtlich gilt \({\mathscr{C}}\subset {\mathscr{S}}\text{*}\). Die Koebe-Funktion k liegt in \({\mathscr{S}}\text{*}\), aber nicht in \({\mathscr{C}}\). Eine in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion f mit f(0) = 0 und f′ (0) = 1 gehört zu \({\mathscr{S}}\text{*}\) genau dann, wenn \begin{eqnarray}\text{Re}\,\frac{z{f}^{\prime}(z)}{f(z)}\gt 0,\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Weiter ist \(f\in {\mathscr{C}}\) genau dann, wenn \(zf^{\prime} (z)\in {\mathscr{S}}\text{*}\). Man beachte, daß zℓ′(z) = k(z).

(3) Eine in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion f mit f(0) = 0 und f′ (0) = 1 heißt fast-konvex, falls eine in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion g existiert derart, daß das Bildgebiet \(g\text{(}{\mathbb{E}}\text{)}\) konvex ist und \begin{eqnarray}\text{Re}\,\frac{z{f}^{\prime}(z)}{{g}^{\prime}(z)}\gt 0,\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray} gilt. Dabei ist nicht vorausgesetzt, daß f schlicht in \({\mathbb{E}}\) oder g an 0 normiert ist. Die Klasse aller dieser Funktionen f wird mit \({\mathscr{K}}\) bezeichnet. Weiter ist \({{\mathscr{K}}}_{\text{0}}\) die Klasse aller \(f\in {\mathscr{K}}\) derart, daß \(g\in {\mathscr{C}}\). Dann gilt \begin{eqnarray}{\mathscr{C}}\subset {{\mathscr{S}}}^{* }\subset {{\mathscr{K}}}_{0}\subset {\mathscr{K}}\subset {\mathscr{S}},\end{eqnarray} und alle diese Inklusionen sind echt.

Manche Autoren fassen den Begriff einer in G schlichten Funktion f etwas allgemeiner und lassen zu, daß f eine in G meromorphe Funktion ist. In diesem Fall besitzt f höchstens eine Polstelle in G. Ist z0G eine Polstelle von f, so hat z0 die Polstellenordnung 1.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos