fundamentaler Begriff in der Garbentheorie.

Sei X ein topologischer Raum, U ⊂ X offen, und sei \( {\mathcal F} \) eine Prägarbe über X. Ein Schnitt von Keimen von\( {\mathcal F} \)über U ist eine Abbildung \begin{eqnarray}\gamma :U\to \displaystyle \underset{p\in X}{\overset{\circ }{\cup }}{{\mathscr{F}}}_{p}\end{eqnarray} von U in die disjunkte Vereinigung der Halme von \( {\mathcal F} \), derart, daß gilt:

a) \(\gamma (p)\in { {\mathcal F} }_{p}\), für alle p ∈ U.

b) Zu jedem Punkt p ∈ U gibt es eine offene Umgebung V ⊂ U von p und einen Schnitt (Garben-theorie) \(m\in {\mathcal F} (V)\) mit γ(q) = m_q für alle q ∈ V.

Die Menge der Schnitte von Keimen über U bezeichnet man mit \({\rm{\Gamma }}(U,\, {\mathcal F} )\). \({\rm{\Gamma }}(U,\, {\mathcal F} )\) ist in natürlicher Weise eine Gruppe, wobei die Gruppenoperation von den Halmen übernommen wird: \begin{eqnarray}(\gamma +\delta )(p):=\gamma (p)+\delta (p);\,\,\,\,\gamma,\delta \in {\rm{\Gamma }}(U,{\mathscr{F}});\,\,\,p\in U.\end{eqnarray}

Es besteht ein kanonischer Homomorphismus \({\varepsilon }_{U}: {\mathcal F} (U)\to {\rm{\Gamma }}(U,\, {\mathcal F} )\); m ↦ (p ↦ m_p), U ⊂ X offen. Die Prägarbe \( {\mathcal F} \) ist genau dann eine Garbe, wenn alle kanonischen Homomorphismen ϵ_U, U ⊂X offen, Isomorphismen sind.

Durch

a) \(U\mapsto {\rm{\Gamma }}(U,\, {\mathcal F} )\), U ⊂ X offen;

b) \({\varrho }_{V}^{U}:{\rm{\Gamma }}(U,\, {\mathcal F} )\to {\rm{\Gamma }}(V,\, {\mathcal F} )\), γ → γ | V, V ⊂ U ⊂ X offen,

wird eine Garbe \({\rm{\Gamma }} {\mathcal F} \) über X definiert, die man als die zur Prägarbe \( {\mathcal F} \) assoziierte Garbe bezeichnet.