einfachstes anschauliches Demonstrationsbespiel für die Eigenschaften geodätischer Kurven (Schraubenlinien) auf regulären Flächen.

Ist \(0\ne {\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{3}\) ein fester Vektor, und sind \({{\mathfrak{e}}}_{1},\,{{\mathfrak{e}}}_{2}\in {{\mathbb{R}}}^{3}\) zwei zueinander und zu \({\mathfrak{x}}\) orthogonale Einheitsvektoren, so definieren diese durch \begin{eqnarray}\alpha (t)=txxg+r\,(\cos (t)\,{{\mathfrak{e}}}_{1}+\sin (t)\,{{\mathfrak{e}}}_{2})\end{eqnarray} die Parametergleichung einer Schraubenlinie, die auf dem Drehzylinder \({\mathscr{Z}}\) vom Radius r liegt, dessen Drehachse durch den Ursprung geht und die Richtung von \({\mathfrak{x}}\) hat. Der Anstieg dieser Schraubenlinie hat den Wert \(2\pi |{\mathfrak{x}}|\). Daß sie eine Geodätische ist, wird anschaulich klar, wenn man sie mit einer Bindfadenkonstruktion darstellt.

Für zwei Punkte \(P,Q\in {\mathscr{Z}}\), die auf derselben Mantellinie liegen, gibt es unendlich viele sie verbindende derartige Schraubenlinien mit unterschiedlichem Anstieg. Das Beispiel zeigt, daß es im Gegensatz zur Ebene auf einer gekrümmten Fläche viele verschiedene geodätische Verbindungslinien zweier Punkte geben kann.