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Lexikon der Mathematik: schwache Konvergenz

abgeschwächter Konvergenzbegriff in normierten oder lokalkonvexen Räumen.

Eine Folge (xn) in einem lokalkonvexen Raum X, insbesondere einem normierten Raum, konvergiert schwach gegen x, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\,{x}^{\prime}({x}_{n})={x}^{\prime}(x)\,\,\,\,\,\,\forall {x}^{\prime}\in {X}^{\prime}.\end{eqnarray}

Ist die Topologie von X Hausdorffsch (wie im normierten Fall), so ist der schwache Grenzwert eindeutig bestimmt. Konvergiert (xn) bzgl. der Originaltopologie, so auch schwach. Die schwache Konvergenz ist genau die Konvergenz bzgl. der schwachen Topologie σ(X, X′).

Hingegen heißt die Folge (xn) schwache Cauchy-Folge, falls für alle x′ ∈ X′ der Grenzwert limnx′(xn) existiert. Ist etwa xn(t) = tn, so ist die Folge (xn) in C[0, 1] eine schwache Cauchy-Folge, jedoch nicht schwach konvergent. Konvergiert jede schwache Cauchy-Folge in einem Banachraum X schwach, so heißt X schwach folgenvollständig; ein Beispiel hierfür ist jeder reflexive Raum oder der Raum L1(μ).

Für die Verwendung des Begriffs der schwachen Konvergenz im Kontext Maßtheorie siehe Kon-vergenz, schwache, von Maßen, und Konvergenz, schwache, von meßbaren Funktionen, sowie schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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