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Lexikon der Mathematik: schwache Topologie

die Topologie auf einem lokalkonvexen Raum X, insbesondere einem normierten Raum, die von der Halbnormfamilie \begin{eqnarray}x\mapsto |{x}^{\prime}(x)|\,\,\,\,\,\,\,\,\,({x}^{\prime}\in {X}^{\prime})\end{eqnarray} erzeugt wird; sie ist eine lokalkonvexe Topologie auf X, die mit σ;(X, X′) bezeichnet wird.

Ein lineares Funktional auf X ist genau dann σ;(X, X′)-stetig, wenn es stetig, also von der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}x\mapsto {x}^{\prime}(x)\end{array}\end{eqnarray} für ein x′ ∈ X′ ist. (X′ bezeichnet den Raum der bezüglich der Originaltopologie von X stetigen Funktionale.) Die σ(X, X′)-Topologie ist die gröbste Topologie, die diese Funktionale stetig werden läßt; mit anderen Worten ist sie initial bzgl. der Abbildungen der Form (1). Ist die Originaltopologie Hausdorffsch, so auch die schwache Topologie.

Die schwache Kompaktheit der Einheitskugel eines Banachraums ist äquivalent zu dessen Reflexivität. Wichtige Kompaktheitskriterien für die schwache Topologie werden in den Sätzen von James, Krein, und dem Kompaktheitssatz von Eberlein-Smulian ausgesprochen. Ist μ ein endliches positives Maß, so ist eine beschränkte Teilmenge von L1(μ) genau dann relativ schwach kompakt, wenn sie gleichgradig integrierbar ist.

In der Theorie lokalkonvexer Räume wird gelegentlich die Schwach-*-Topologie des Dualraums als dessen schwache Topologie bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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