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Lexikon der Mathematik: Schwarz-Pick, Lemma von

Pick, Lemma von, lautet:

Es sei f eine in\({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) holomorphe Funktion mit\(f({\mathbb{E}})\subset {\mathbb{E}}\). Weiter sei für w, \(z\in {\mathbb{E}}\)\begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}(w,z):=|\frac{w-z}{1-\bar{z}w}|.\end{eqnarray}

Dann gelten \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\rm{\Delta }}(f(w),f(z))\le {\rm{\Delta }}(w,z),\,\,\,\,w,z\in {\mathbb{E}}\end{array}\end{eqnarray}und \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{|{f}^{\prime}(z)|}{1-{|f(z)|}^{2}}\le \frac{1}{1-{|z|}^{2}},\,\,\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}.\end{array}\end{eqnarray}

Falls es zwei Punkte\({w}_{0},\,\,{z}_{0}\in {\mathbb{E}}\)mit w0z0und Δ(f(w0), f(z0)) = Δ(w0, z0) gibt, so ist f ein Automorphismus von \({\mathbb{E}}\) (Automorphismengruppe von \({\mathbb{E}}\)), und (1) ist für alle\(w,\,\,z\in {\mathbb{E}}\)eine Gleichung. Ist (2) für ein\(\,{z}_{0}\in {\mathbb{E}}\)eine Gleichung, so ist f ebenfalls ein Automorphismus von \({\mathbb{E}}\), und in (2) steht für alle\(z\in {\mathbb{E}}\)das Gleichheitszeichen.

Gilt zusätzlich f(0) = 0 und setzt man w = 0 in (1) bzw. z = 0 in (2), so erhält man das Lemma von Schwarz.

Das Lemma von Schwarz-Pick kann auch für in der oberen Halbebene H = {z ∈ ℂ : Im z > 0} holomorphe Funktionen f mit f(H) ⊂ H formuliert werden. Hierzu muß nur Δ(w, z) durch \begin{eqnarray}\delta (w,z):=\left|\frac{w-z}{w-\bar{z}}\right|,\,\,\,\,\,\,w,z\in H\end{eqnarray} ersetzt werden. Die Ungleichung (2) lautet dann \begin{eqnarray}\frac{|{f}^{\prime}(z)|}{\mathrm{Im}f(z)}\le \frac{1}{\mathrm{Im}z},\,\,\,\,z\in H.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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