Schwarz-Ableitung, Schwarzsche Derivierte, der einer in einem Gebiet G ⊂ ℂ nicht-konstanten meromorphen Funktion f zugeordnete Differentialausdruck \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{S}_{f}(z) & := & \frac{d}{dz}\left(\frac{{f}^{\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{{f}^{\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)}^{2}\\ & = & \frac{{f}^{\prime\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{f}^{}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Eine weitere Bezeichnung hierfür ist {f, z}.

Es ist S_f eine in G meromorphe Funktion. Ein Punkt z₀ ∈ G ist eine Polstelle von S_f genau dann, wenn entweder z₀ eine Nullstelle von f′ oder eine Polstelle von f der Ordnung m ≥ 2 ist. Alle Polstellen von S_f besitzen die Ordnung 2. Die Polstellen von f der Ordnung 1 sind hebbare Singularitäten von S_f. Insbesondere ist S_f eine in G holomorphe Funktion, falls f eine in G lokal schlichte Funktion ist.

Einige Beispiele für Schwarzsche Ableitungen:

(a) Für den Hauptzweig des Logarithmus (Logarithmus einer komplexen Zahl) gilt \begin{eqnarray}\{\mathrm{log}z,z\}=\frac{1}{2{z}^{2}}.\end{eqnarray}

(b) Für den Hauptzweig der Potenz gilt \begin{eqnarray}\{{z}^{\alpha },z\}=\frac{1-{\alpha }^{2}}{2{z}^{2}}.\end{eqnarray}

(c) Für die Exponentialfunktion gilt \begin{eqnarray}\{{e}^{z},z\}=-\frac{1}{2}.\end{eqnarray}

Grundlegende Eigenschaften der Schwarzschen Ableitung sind:

(1) Ist f eine in G nicht-konstante meromorphe Funktion, so gilt S_f(z) = 0 für alle z ∈ G genau dann, wenn f eine Möbius-Transformation ist.

(2) Sind f und g in G nicht-konstante meromorphe Funktionen, so gilt S_f(z) = S_g(z) für alle z ∈ G genau dann, wenn es eine Möbius-Transformation T gibt mit T ∘ f = g.

(3) Ist f eine in G und g eine in f(G) nichtkonstante meromorphe Funktion, so gilt \begin{eqnarray}{S}_{g\circ f}(z)={S}_{g}(f(z)){({f}^{\prime}(z))}^{2}+{S}_{f}(z),\,\,\,\,\,z\in G.\end{eqnarray}

Schon Joseph Louis Lagrange entdeckte, daß \begin{eqnarray}\frac{{F}^{}}{{F}^{\prime}}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{F}^{}}{{F}^{\prime}}\right)}^{2}=\frac{{f}^{}}{{f}^{\prime}}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{f}^{}}{{f}^{\prime}}\right)}^{2}\end{eqnarray} gilt für \begin{eqnarray}F=\frac{af+b}{cf+d}\end{eqnarray} mit a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 0, was, wie im Jahr 1873 Hermann Amandus Schwarz erkannte, gerade heißt, daß die Schwarzsche Ableitung invariant gegenüber linear gebrochenen Transformationen ist.

Die Schwarzsche Ableitung spielt eine wichtige Rolle beim Beweis der Christoffel-Schwarzschen Abbildungsformel. Von Interesse ist hierbei die Schwarzsche Differentialgleichung S_f = 2p, wobei p eine gegebene in G holomorphe Funktion ist. Es ist f eine Lösung dieser Differentialgleichung genau dann, wenn f von der Form \(f=\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}\) ist, wobei g₁ und g₂ linear unabhängige Lösungen der linearen Differentialgleichung g″ + pg = 0 sind.

Weitere Anwendungen findet S_f in der Theorie der schlichten Funktionen.