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Lexikon der Mathematik: Schwarzsches Spiegelungsprinzip

wichtiger Satz der Funktionentheorie, der wie folgt lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, das bezüglich der reellen Achse symmetrisch ist, d. h., es ist z ∈ G genau dann, wenn\(\bar{z}\in G\). Weiter sei G+ := {zG : Im z > 0}, G := {zG : Im z < 0} und G0 := G ∩ ℝ. Schließlich seif : G+G0 → ℂ eine Funktion derart, daß f in G+ holomorph, Im fin G+G0stetig ist und Im f(z) = 0 für alle zG0. Definiert man F : G → ℂ durch \begin{eqnarray}F(z):=\left\{\begin{array}{l}f(z)\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,z\in {G}^{+}\cup {G}_{0},\\ \overline{f(\bar{z})}\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,z\in {G}^{-},\end{array}\right.\end{eqnarray}so ist F eine in G holomorphe Funktion.

Man kann also unter den gegebenen Voraussetzungen die in G+G0 definierte Funktion f durch Spiegelung an der reellen Achse zu einer in G holomorphen Funktion F fortsetzen. Den Funktionswert F(z) für zG erhält man, indem man z an der reellen Achse spiegelt, auf den Spiegelpunkt \(\bar{z}\) die Funktion f anwendet und schließlich \(f(\bar{z})\) wieder an der reellen Achse spiegelt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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