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Lexikon der Mathematik: Schwarzschild-Lösung

statisch kugelsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichung für das Vakuum ohne kosmologische Konstante.

Die Schwarzschild-Metrik hat in Schwarzschildkoordinaten die Gestalt \begin{eqnarray}d{S}^{2}=\left(1-\frac{2m}{r}\right)d{t}^{2}-d{r}^{2}/\left(1-\frac{2m}{r}\right)-{r}^{2}d{{\rm{\Omega }}}^{2},\end{eqnarray} wobei Einheiten verwendet werden, in denen Lichtgeschwindigkeit c und Gravitationskonstante G den Wert 1 haben. Weiterhin ist \begin{eqnarray}d{{\rm{\Omega }}}^{2}=d{\psi }^{2}+{\sin }^{2}\psi d{\phi }^{2}\end{eqnarray} die Metrik der Einheitskugelfläche. Der Schwarzschild-Radius rS = 2m hat die Eigenschaft, daß für rrS die Schwarzschildkoordinaten nicht mehr anwendbar sind, da die Metrikkoeffizienten nicht mehr alle regulär sind.

Dies Problem läßt sich wie folgt beheben: Im Bereich r > 2m wird eine geeignete Koordinatentransformation durchgeführt, z. B. zu Kruskal-Koordinaten (Kruskal-Diagramm), dann läßt sich durch analytische Fortsetzung eine reguläre Metrik auch bis in den Bereich r < 2m hinein finden. Es bleibt jedoch die eigenartig anmutende Eigenschaft erhalten, daß Teilchen nur von außen nach innen diesen Horizont bei r = 2m überqueren können. Zum Teil ist dies allerdings nur ein sprachliches Mißverständnis: Im Bereich r < 2m ist ja die Koordinate r nicht mehr raumartig, sondern zeitartig, und deshalb kann man mit selbem Recht auch sagen: Ein Teilchen kann den Horizont nur in einer Richtung überqueren: Aus der Vergangenheit in die Zukunft und nicht umgekehrt – eine völlig mit unserer Erfahrung übereinstimmende Tatsache.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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