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Lexikon der Mathematik: Sekantenverfahren

iteratives numerisches Verfahren zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung f(x) = 0 mit stetiger reeller Funktion f und unbekanntem reellen x.

Die Iterationsvorschrift lautet explizit \begin{eqnarray}{x}_{k+1}:={x}_{k}-f({x}_{k})\cdot\frac{{x}_{k}-{x}_{k-1}}{f({x}_{k})-f({x}_{k-1})},\,\,k=1, 2,\ldots \end{eqnarray} mit vorgegebenen Startwerten x0 und x1. Geometrisch betrachtet wird in jedem Schritt die Sekante durch xk−1 und xk an f gelegt und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als neue Näherung genommen. Abgebrochen wird die Iteration üblicherweise, wenn \(|{x}_{k+1}-{x}_{k}|\) hinreichend klein geworden ist.

Das Sekantenverfahren beruht im Prinzip auf der Ersetzung des Differentialquotienten im Newtonverfahren durch den Differenzenquotienten und stellt somit eine Vereinfachung dieses Verfahrens dar.

Dieses Sekantenverfahren ist nicht zu verwechseln mit der in der Zahlentheorie angewandten Sekantenmethode, wenngleich die beiden Begriffe in der Literatur gelegentlich vertauscht werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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