Beispiel einer fraktalen Dimension selbstähnlicher Mengen (Selbstähnlichkeit).

Es sei X ein Banachraum und F ⊂ X eine nichtleere kompakte (streng) selbstähnliche Menge bzgl. einer geeigneten Auswahl kontrahierender Ähnlichkeitsabbildungen S₁,…,S_k. Wenn eine nichtleere beschränkte offene Menge V existiert mit \begin{eqnarray}V\supset \mathop{\mathop{\bigcup}\limits^{k}}\limits_{i=1}{S}_{i}(V),\end{eqnarray} wobei die S_i(V) paarweise disjunkt sind, dann heißt \(s\in {\mathbb{R}}\) mit \(\mathop{\sum ^{k}_{i=1}}{c}_{i}^{s}=1\) Ähnlichkeitsdimension von F. Es gilt:

Mit den Voraussetzungen von oben und derÄhn-lichkeitsdimension s von F gilt \begin{eqnarray}{\dim}_{H}F={\dim}_{Kap}F=s\end{eqnarray} (Hausdorff-Dimension, Kapazitätsdimension). Außerdem gilt für diesen Wert von s und das Hausdorff-Maß\({\mu}_{s}^{H}\): \begin{eqnarray}0\lt {\mu}_{s}^{H}(F)\lt \infty.\end{eqnarray}

[1] Falconer, K.J.: Fraktale Geometrie: Mathematische Grundlagen und Anwendungen. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1993.