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Lexikon der Mathematik: Serre, GAGA-Sätze von

Ergebnisse zum Vergleich zwischen projektiven Schemata von endlichem Typ über ℂ und ihren assoziierten komplex analytischen Räumen.

Ist X ein Schema von endlichem Typ über ℂ, dann ist der assoziierte komplex analytische Raum Xh folgendermaßen definiert: Man überdeckt X mit offenen affinen Teilmengen Yi = Spec Ai, wobei jedes Ai eine Algebra von endlichem Typ über ℂ ist, also geschrieben werden kann als \begin{eqnarray}{A}_{t}\cong {\mathbb{C}}[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}]/({f}_{1},\cdots, {f}_{q}).\end{eqnarray} Dabei seien f1,…,fq Polynome in x1,…,xn. Wir können sie als holomorphe Funktionen auf dem ℂn betrachten, so daß ihre gemeinsame Nullstellenmenge ein komplex analytischer Unterraum (Yi)h ⊂ ℂn ist. Das Schema X erhält man, indem man die offenen Mengen Yi verklebt, man kann daher die gleichen Verklebungs-Daten verwenden, um die analytischen Räume (Yi)h zu einem analytischen Raum Xh zu verkleben. Diesen nennt man den assoziierten komplex analytischen Raum von X.

Da die Konstruktion funktoriell ist, erhält man einen Funktor h von der Kategorie der Schemata von endlichem Typ über ℂ in die Kategorie der komplex analytischen Räume. Bei der Betrachtung dieses Funktors ergeben sich auf natürliche Weise folgende Fragen:

  1. Sei ein komplex analytischer Raum \({\mathfrak{X}}\) gegeben, existiert dann ein Schema X so, daß \({X}_{h}\cong {\mathfrak{X}}\)?
  2. Wenn X und X′ zwei Schemata mit \({X}_{h}={{X}{^{\prime}}}_{h}\) sind, ist dann \(X\cong {X}{^{\prime}}\)?
  3. Sind ein Schema X und eine kohärente analytische Garbe \({\mathfrak{F}}\) über Xh gegeben, existiert dann eine kohärente Garbe \( {\mathcal F} \) über X, so daß \({{\mathcal F}}_{h}\cong {\mathfrak{F}}\)?
  4. Seien ein Schema X und zwei kohärente Garben \( {\mathcal E} \) und \( {\mathcal F} \) über X gegeben, so daß \({\mathcal E}_{h}\cong {{\mathcal F}}_{h}\) über Xh, gilt dann \({\mathcal E} \cong {\mathcal F} \)?
  5. Seien ein Schema X und eine kohärente Garbe \( {\mathcal F} \) gegeben, sind dann die Abbildungen \begin{eqnarray}{\alpha}_{i}:{H}^{i}(X, {\mathcal F})\to {H}^{i}({X}_{h},{{\mathcal F}}_{h})\end{eqnarray} Isomorphismen?
In dieser Allgemeinheit ist die Antwort auf alle Fragen „nein“. Betrachtet man aber projektive Schemata, dann ist die Antwort auf alle Fragen „ja“. Diese Ergebnisse hat Serre in seinem paper GAGA bewiesen. Der bedeutendste Satz ist der folgende:

Sei X ein projektives Schema über ℂ. Dann induziert der Funktor h eine Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der kohärenten Garben über X und der Kategorie der kohärenten analytischen Garben über Xh. Außerdem sind für jede kohärente Garbe \({\mathcal{F}}\)über X die natürlichen Abbildungen \begin{eqnarray}{\alpha}_{i}:{H}^{i}(X, {\mathcal F})\to {H}^{i}({X}_{h},{{\mathcal F}}_{h})\end{eqnarray}für alle i Isomorphismen.

[1] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. Springer-Verlag New York, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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