Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Serre, Theorem A von

Cartan-Serre, Theorem A von, eines der Haupttheoreme der Theorie der kohärenten analytischen Garben, das zusammen mit Theorem B neben den Cousin-Problemen und dem Poincarè-Problem Anwendung in der Theorie der Steinschen Algebren findet.

Für kompakte Quader lautet das Theorem A folgendermaßen:

Zu jeder kohärenten \({\mathcal{O}}\)-Garbe \({\mathcal{S}}\)über einem kompakten Quader \(Q\subset {{\mathbb{C}}}^{m}\)gibt es eine natürliche Zahl p und eine exakte \({\mathcal{S}}\)-Sequenz \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}^{p}|Q\to S\to 0.\end{eqnarray}

Eine andere Formulierung ist:

Es gibt p Schnitte im Schnittmodul \({\mathcal{S}}\)(Q), deren Keime in jedem Punkt zQ den Halm \({{\mathcal{S}}}_{z}\)über \({{\mathcal{O}}}_{z}\)erzeugen.

Für diesen Fall impliziert Theorem A das Theorem B (Serre, Theorem B von).

Ein komplexer Raum ist Steinsch, wenn er eine Ausschöpfung durch Steinsche Kompakta besitzt. Spezielle Steinsche Ausschöpfungen sind die Quaderausschöpfungen; komplexe Räume, die Quaderausschöpfungen gestatten, nennt man holomorphvollständig. Beispielsweise besitzt jeder schwachholomorph-konvexe Raum, in dem alle kompakten analytischen Mengen endlich sind, Quaderausschöpfungen und ist somit Steinsch. Eine abgeschlossene Teilmenge P eines komplexen Raumes X heißt Steinsch (in X), wenn fürP die Aussage von Theorem B richtig ist, z. B. sind kompakte Quader im ℂm Steinsche Mengen. Für Steinsche Mengen lautet das Theorem A folgendermaßen:

Es sei P eine Steinsche Menge in X und \({\mathcal{S}}\)eine kohärente analytische Garbe über P. Dann erzeugt der Schnittmodul \({\mathcal{S}}\)(P) jeden Halm \({\mathcal{S}}\)x, xP, d. h. das Bild von \({\mathcal{S}}\)(P) in \({\mathcal{S}}\)x bzgl. der Einschränkung \({\mathcal{S}}\)(P) → \({\mathcal{S}}\)x, ssx, erzeugt den \({\mathcal{O}}\)x-Modul \({\mathcal{S}}\)x.

Schließlich erhält man das Fundamentaltheorem der Steintheorie:

Jeder holomorph-vollständige Raum (X, \({\mathcal{O}}\)) ist Steinsch; für jede kohärente analytische Garbe \({\mathcal{S}}\)über X gilt also:

  • Der Schnittmodul \({\mathcal{S}}\)(X) erzeugt jeden Halm \({{\mathcal{S}}}_{x},x\in X\), als \({{\mathcal{O}}}_{x}\)-Modul.
  • Für alle q ≥ 1 gilt: Hq(X, \({\mathcal{S}}\)) = 0.
  • Lesermeinung

    Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

    Partnervideos