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Lexikon der Mathematik: simplizialer Komplex

Simplizialkomplex, ein Paar (X, Δ), wobei X eine beliebige Menge ist, deren Elemente Punkte genannt werden, und Δ eine Menge von Teilmengen von X ist, die alle einelementigen Teilmengen von X enthält, und für die gilt: Wenn \(A\subseteq B\in \Delta, \) so ist auch A ∈ Δ. Die Elemente von Δ heißen Simplizes.

Äquivalent dazu kann man einen simplizialen Komplex definieren als eine halbgeordnete Menge (Δ, ≤), die ein kleinstes Element Ø hat, für die je zwei Elemente eine größte untere Schranke AB haben, und für die alle Mengen \(\{X\in \Delta |X\subseteq A\},\)A ∈ Δ die Struktur einer Potenzmenge haben.

Sei etwa X = {A, B, C, a, b, c} und Δ = {Ø, {A}, {B}, {C}, {a}, {b}, {c}, {A, b}, {A, c}, {B, a}, {B, c}, {C, a}, {C, b}}. Dann ist (X, Δ) ein simplizialer Komplex, der den Rand eines Dreiecks beschreibt: Die Elemente von X sind die Ecken und Kanten des Dreiecks, und die Elemente von Δ sind die Fahnen des Dreiecks. Ein maximaler Simplex eines simplizialen Komplexes wird Kammer genannt.

Ein numerierter Komplex ist ein simplizialer Komplex, für den eine Menge I und eine Abbildung Typ : XI existiert, die jede Kammer bijektiv auf die Menge I abbildet. Wählt man etwa I = {0, 1} und Typ(A) = Typ(B) = Typ(C) = 0, Typ(a) = Typ(b) = Typ(c) = 1, so wird aus obigem Beispiel ein numerierter Komplex.

Zwei Kammern C1, C2 eines numerierten Komplexes heißen benachbart, wenn \begin{eqnarray}|{C}_{1}\cap {C}_{2}|=|I|-1\end{eqnarray} ist. Eine Galerie ist eine endliche Folge von Kammern, bei der aufeinanderfolgende Kammern gleich oder benachbart sind. In obigem Beispiel ist z. B. \begin{eqnarray}(\{A,b\},\{C,b\},\{C,a\},\{B,a\})\end{eqnarray} eine Galerie.

Ein numerierter Komplex heißt verbunden, wenn je zwei Kammern mit einer Galerie verbunden werden können. Er heißt stark verbunden, wenn für jedes AX der Komplex \begin{eqnarray}(X,\{M\in \Delta |A\in M\})\end{eqnarray} verbunden ist. Der Komplex in unserem Beispiel ist stark verbunden.

Numerierte Komplexe stehen in engem Zusammenhang mit Kammersystemen und dienen als Grundlage für Gebäude. Eine wichtige Verallgemeinerung simplizialer Komplexe sind CW-Komplexe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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