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Lexikon der Mathematik: Sinusfunktion

Sinus, ist definiert durch die Potenzreihe \begin{eqnarray}\sin z:=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}.\end{eqnarray}Diese Reihe heißt auch Sinusreihe. Sie ist in ganz ℂ normal konvergent, und daher ist sin eine ganz transzendente Funktion.

Durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe in (1) ergibt sich für die Ableitung von sin \begin{eqnarray}\mathrm{si}{n}{^{\prime}}z=\cos z.\end{eqnarray} Die Sinusfunktion hat einfache Nullstellen an z = zk = , k ∈ ℤ, sie ist eine ungerade Funktion, d. h. sin (−z) = −sin z, und sie hat die Periode 2π. Jeder Wert a ∈ ℤ wird von der Sinusfunktion abzählbar unendlich oft angenommen, d.h. sie hat keine Ausnahmewerte. Weiter ist sie durch die Exponentialfunktion darstellbar: \begin{eqnarray}\sin z=\frac{1}{2i}({e}^{iz}-{e}^{-iz}).\end{eqnarray}Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil lautet \begin{eqnarray}\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\quad z=x+iy.\end{eqnarray} Außerdem sei auf das wichtige Additionstheorem der Cosinus- und Sinusfunktion verwiesen.

Von Interesse sind auch die Abbildungseigenschaften der Sinusfunktion. Zum Beispiel wird der Vertikalstreifen \begin{eqnarray}\left\{x+iy:|x|\lt \frac{\pi}{2}\right\}\end{eqnarray} konform auf die zweifach geschlitzte Ebene \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}\backslash \{x\in {\mathbb{R}}:|x|\ge 1\}\end{eqnarray} abgebildet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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