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Lexikon der Mathematik: Sinussatz

wichtiger Satz der Trigonometrie über den Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen in Dreiecken.

In der ebenen Trigonometrie gilt der folgende Sinussatz:

In einem beliebigen ebenen Dreieck sind die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels konsiani.

In einem Dreieck mit den Seiten a, b, und c sowie den jeweils gegenüberliegenden Innenwinkeln α, β und γ gilt also \begin{eqnarray}\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.\end{eqnarray}Da die Sinusfunktion im Intervall (0, π) nicht eineindeutig ist, wird ein gesuchter Winkel bei der Berechnung mittels des Sinussatzes nicht eindeutig bestimmt. Als Ergebnisse kommen stets zwei Winkelmaße in Frage, das eines spitzen Winkels α1, das sich durch die Berechnung des Arcussinus ergibt, sowie α2 = 180° − α1 als Maß eines stumpfen Winkels. Welcher dieser beiden Werte tatsächlich für den gesuchten Winkel eines gegebenen Dreiecks zutreffend sein kann, muß anhand weiterer Kriterien, wie der Innenwinkelsumme und der Tatsache, daß längeren Seiten stets größere Winkel gegenüberliegen, ermittelt werden.

In der sphärischen Trigonometrie gilt der folgende Sinussatz:

In jedem Eulerschen Dreieck mit den Seiten a, b, und c sowie den jeweils gegenüberliegenden Innenwinkeln α, β und γ gilt \begin{eqnarray}\frac{\sin a}{\sin \alpha}=\frac{\sin b}{\sin \beta}=\frac{\sin c}{\sin \gamma}.\end{eqnarray} Wegen \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{eqnarray} geht dieser Satz für sehr kleine Seitenlängen in den Sinussatz der ebenen Trigonometrie über.

In der hyperbolischen Trigonometrie müssen die Werte des sinus hyperbolicus der Seitenlängen mit den Sinuswerten der Winkel ins Verhältnis gesetzt werden, hier gilt also folgender Sinussatz:

In jedem Dreieck einer hyperbolischen Ebene mit den Seiten a, b und c sowie den jeweils gegenüberliegenden Innenwinkeln α, β und γ gilt \begin{eqnarray}\frac{\sinh a}{\sin \alpha}=\frac{\sinh b}{\sin \beta}=\frac{\sinh c}{\sin \gamma}.\end{eqnarray}

Auch der Sinussatz der hyperbolischen Trigonometrie geht wegen \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 0}\frac{\sinh x}{x}=1\end{eqnarray} für sehr kleine Seitenlängen in den Sinussatz der ebenen Trigonometrie über.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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