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Lexikon der Mathematik: Skalarprodukt

inneres Produkt, positiv definite symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum V über ℝ oder ℂ, die je zwei Vektoren aus V einereelle Zahl zuordnet.

Ist V ein n-dimensionaler Raum, und sind x =(x1,…,xn) und y = (y1,…,yn) ∈ V, so ist das Standardskalarprodukt definiert als \begin{eqnarray}\langle x,y\rangle :={x}_{1}{y}_{1}+\cdots +{x}_{n}{y}_{n}.\end{eqnarray}Manchmal wird statt \(\langle x,y\rangle \) auch die Notation (x, y) oder x · y verwendet. Das Skalarprodukt ist bilinear, d.h., jeweils linear in x und y und positiv definit, es gilt also \begin{eqnarray}\langle x,x\rangle \gt 0\quad \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\quad x\ne 0\quad \text{und}\quad \langle 0, 0\rangle =0.\end{eqnarray}

Allgemeiner betrachtet man auch Skalarprodukte, die gegeben werden durch \begin{eqnarray}\langle x,y\rangle :={x}^{t}\cdot A\cdot y,\end{eqnarray} wobei A eine symmetrische, positiv-definite (n × n)-Matrix ist. Ist A nicht von der angegebenen Form, so wird durch (1) kein Skalarprodukt definiert. Auf endlich-dimensionalen Räumen sind alle Skalarprodukte von der angegebenen Form, das Standardskalarprodukt erhält man, indem man A als die Einheitsmatrix wählt. Ist \(\langle \cdot, \cdot \rangle \) ein Skalarprodukt auf V und U ein Unterraum von V, so liefert die Einschränkung von \(\langle \cdot, \cdot \rangle \) auf U ein Skalarprodukt auf U. Aus \(\langle v,{v}_{1}\rangle =\langle v,{v}_{2}\rangle \forall v\in V\) folgt stets v1 = v2.

Ein reeller oder komplexer Vektorraum auf dem ein Skalarprodukt gegeben ist, wird auch als PräHilbertraum bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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