Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Spearmanscher Korrelationskoeffizient

ein von Spearman 1904 entwickelter spezieller Rangkorrelationskoeffizient, zur Beurteilung der Stärke des (gleichsinnig oder gegenläufig) linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens ordinalskalierten (Skalentypen) Merkmalen X und Y.

Sei (X1, Y1), …, (Xn, Yn) eine Stichprobe des Merkmalspaares (X, Y). Zur Berechnung des Spear-manschen Rangkorrelationskoeffizienten bildet man für X und Y getrennt die geordnete Stichprobe und berechnet die zugehörigen Rangplatzzahlen R[Xi], R[Yi], i = 1, …, n. Der Spearmansche Korrelationskoeffizient ϱ ist dann definiert als einfacher (Pearsonscher) Korrelationskoeffizient zwischen den Rangplätzen R[X] und R[Y]: \begin{eqnarray}\varrho =\frac{Cov (R[X],R[Y])}{\sqrt{V(R[X]}\sqrt{V(R[Y])}}.\end{eqnarray} Die Schätzung \(\hat{\varrho}\) des Korrelationskoeffizienten erfolgt, indem man die Kovarianz Cov(R[X], R[Y]) und die Varianzen V(R[X]), V(R[Y]) durch die empirische Kovarianz bzw. die empirischen Varianzen ersetzt. Üblicherweise wird auch \(\hat{\varrho}\) als Spearmanscher Korrelationskoeffizient bezeichnet.

Es läßt sich zeigen, daß sich der empirische Korrelationskoeffizient \(\hat{\varrho}\) wie folgt einfach berechnen läßt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\hat{\varrho}=1-\frac{6\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{d}_{i}^{2}}{n({n}^{2}-1)}, & \text{mit}\ {d}_{i}=R[{X}_{i}]-R[{Y}_{i}].\end{array}\end{eqnarray} Die Beurteilung des Korrelationskoeffizienten \(\hat{\varrho}\) er-folgt wie in der Korrelationsanalyse einfacher Korrelationskoeffizienten üblich.

Ein Beispiel. Es soll überprüft werden, ob für 6 Studenten ein Zusammenhang zwischen der Klausurnote in Statistik (St) und in der Volkswirtschaftslehre (VWL) besteht. In folgender Tabelle sind die Noten der 6 Studenten und die zugeordneten Rangplätze enthalten:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Spearmanscher Korrelationskoeffizient
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Aus den Werten der Tabelle ergibt sich: \begin{eqnarray}\hat{\varrho}=1-\frac{6\cdot 11}{6\cdot 35}=\frac{24}{35}=0,686.\end{eqnarray} Es besteht demnach eine positive Korrelation \((\hat{\varrho}\ge 0,5)\) zwischen den Noten in beiden Fächern.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos