Spektralsequenz, eine Folge von Differentialmoduln (E_r, d_r)_r∈ℕ über einem kommutativen Ring R derart, daß der Modul E_r+1 der Homologiemodul von (E_r, d_r) ist.

Ein Modul (E_r, d_r) heißt ein Differentialmodul, falls E_r ein Modul ist, und falls d_r : E_r → E_r ein Modulhomomorphismus ist, für den d_r ○ d_r = 0 gilt. Die Abbildung d_r heißt auch ein Differential. Der (Ko-)Homologiemodul ist definiert als H(E_r, d_r) := Ker d_r/Im d_r. Ist der Grundring ein Körper, so sind die Differentialmodule Vektorräume, versehen mit einer Differentialabbildung. Ist der Grundring der Ring der ganzen Zahlen, so sind die Differentialmodule abelsche Gruppen zusammen mit einer Differentialabbildung. Allgemeiner kann man Spektralfolgen auch in beliebigen abelschen Kategorien definieren.

Bei vielen Anwendungen ist der Differentialmodul E_r ein bigraduierter Modul \begin{eqnarray}{E}_{r}=\mathop{\bigoplus}\limits_{p,q\in {\mathbb{Z}}}{E}_{r}^{p,q},\end{eqnarray} und das Differential d_r ist ein Differential vom Bigrad (r, 1 − r), d. h. es gilt \begin{eqnarray}{d}_{r}:{E}_{r}^{p,q}\to {E}_{r}^{p+r,q+1-r}.\end{eqnarray} Der Kohomologiemodul H(E_r, d_r), der mit E_r+1 identifiziert wird, besitzt ebenfalls eine bigraduierte Struktur \begin{eqnarray}{E}_{r+1}^{p,q}=\frac{\ker {d}_{r}:{E}_{r}^{p,q}\to {E}_{r}^{p+r,q+1-r}}{\text{im}\ \ \text{}\ {d}_{r}:{E}_{r}^{p-r,q+r-1}\to {E}_{r}^{p,q}}.\end{eqnarray} Bei dieser Definition ist die Spektralfolge vom Kohomologietyp. Ist das Differential vom Bigrad (−r, r − 1), so handelt es sich um eine Spektralfolge vom Homologietyp. Im folgenden werden solche vom Kohomologietyp betrachtet.

Spektralfolgen, die von bigraduierten Moduln herkommen, lassen sich als eine Folge von ebenen Diagrammen darstellen. Die \({E}_{r}^{p,q}\) sitzen an den Punkten mit den ganzzahligen Koordinaten (p, q) in der r-ten Ebene. Die Morphismen d_r sind für festes r gegeben durch Pfeile eines festen Typs, ausgehend von jedem dieser Punkte. So geht d₁ jeweils einen (ganzzahligen) Schritt nach rechts, d₂ geht zwei Schritte nach rechts und einen nach unten, usw.

Ausgehend vom Term E₂ definiert solch eine Spektralfolge einen Turm von Untermoduln von E₂\begin{eqnarray}{B}_{2}\subseteq {B}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {B}_{n}\subseteq \cdots \subseteq {C}_{n}\subseteq \cdots \subseteq {C}_{2}\subseteq {E}_{2}\end{eqnarray} mit E_n+1 ≅ C_n/B_n. Das Differential d_n+1 kann als Abbildung C_n/B_n → C_n/B_n gegeben werden mit Kern C_n+1/B_n und BildB_n+1/B_n. Sei \begin{eqnarray}{C}_{\infty}=\mathop{\bigcap}\limits_{n\ge 2}{C}_{n}\ \,\,\,\text{und}\,\,\,\, {B}_{\infty}=\mathop{\bigcup}\limits_{n\ge 2}{B}_{n}\end{eqnarray} sowie E_∞ = C_∞/B_∞. Dieser Modul trägt eine natürlich bigraduierte Struktur, die von der Struktur von E₂ herkommt: \begin{eqnarray}{E}_{r}=\mathop{\bigoplus}\limits_{p,q\in {\mathbb{Z}}}{E}_{\infty}^{p,q}.\end{eqnarray} Gilt d_r = 0 für ein r ≥ N, so folgt E_∞ = E_N. Man sagtdann: Die Spektralfolge ist am N-ten Term degeneriert. Solch eine Degeneration tritt immmer auf, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{E}_{2}^{p,q}\ne 0 & \text{nur f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r} & 0\le p\le {n}_{1},\,\,0\le q\le {n}_{2}\end{array}\end{eqnarray} mit geeigneten n₁ und n₂.

Ist H* = ⊕_n∈ℤHⁿ ein graduierter Modul, der filtriert ist, d. h., es gibt eine Sequenz von Untermoduln \begin{eqnarray}\cdots \subseteq {F}^{p+1}H* \subseteq {F}^{p}H* \subseteq {F}^{p-1}H* \cdots, \end{eqnarray} so setzt man F^pHⁿ := F^pH* ∩ Hⁿ und \begin{eqnarray}G{r}^{p,q}(H*, F):={F}^{p}{H}^{p+q}/{F}^{p+1}{H}^{p+q}.\end{eqnarray} Man sagt, eine Spektralfolge (E_r, d_r) (alle E_r seienbigraduiert) konvergiere zu H*, falls es eine Filtrie-rung F von H^* gibt mit \begin{eqnarray}G{r}^{p,q}({H}^{*},F)\cong {E}_{\infty}^{p,q}.\end{eqnarray} Ist man in der Lage, die Spektralfolge zu berechnen, so liefert diese eine Möglichkeit, den graduierten Modul \begin{eqnarray}Gr(H^*)=\mathop{\bigoplus}\limits_{p\in {\mathbb{Z}}}{F}^{p}H^* /{F}^{p+1}H^* \end{eqnarray} von H* bezüglich der Filtrierung F zu berechnen. Degeneriert die Spektralfolge, so ist sie besondersnützlich zur Berechnung von Gr(H*).

Spektralfolgen sind wichtige technische Hilfsmittel zur Berechnung von (Ko-)Homologieobjekten. Die Leray-Spektralfolge berechnet die (Ko-)Homologie von filtrierten Komplexen. Die Leray-Serre-Spektralfolge berechnet die Homologie filtrierter topologischer Räume, speziell die Homologie der CW-Komplexe. Die Eilenberg-Moore-Spektralfolge findet Anwendung bei der Berechung der Homologie von Faserungen. Die Adams-Spektralfolge wird eingesetzt zur Berechnung der stabilen Homotopie-gruppen.

[1] McCleary, J.: User’s Guide to Spectral Sequences. Publishor Perish, 1985.