Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren

zentrale Aussage der Operatortheorie.

Sei T ein beschränkter oder unbeschränkter selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum H. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes projektionswertiges Maß E mit Träger supp(E) = σ(T) (σ das Spektrum von T) so, daß \begin{eqnarray}\langle Tx,y\rangle =\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda d\langle {E}_{\lambda},x,y\rangle \end{eqnarray}für alle x ∈ D(T), yH, wobei die Integration bzgl. des Maßes μx, y(A) = ⟨E(A)x,ygemeint ist.

Ist T beschränkt, konvergiert das Integral in (1) sogar bzgl. der Operatornorm; man schreibt dann \begin{eqnarray}T=\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda\,d{E}_{\lambda}.\end{eqnarray}

Eine Zahl λ ∈ ℝ ist genau dann ein Eigenwert von T, wenn E({λ}) ≠ 0 ist. Da das Spektrum eines kompakten Operators (außer der Null) nur aus Eigenwerten besteht, etwa σ(T) = {0, λ1, λ2, …}, nimmt (2) in diesem Fall die Form \begin{eqnarray}T=\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{n=1}{\lambda}_{n}E(\{{\lambda}_{n}\})(3)\end{eqnarray} an; E({λn}) ist die Orthogonalprojektion auf den zu λn gehörigen Eigenraum.

Formel (3) impliziert, daß H eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T besitzt; (3) lautet in dieser Version \begin{eqnarray}Tx=\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{k=1}{\mu}_{k}\langle x,{e}_{k}\rangle {e}_{k},\end{eqnarray} wobei die Folge (μk) die in ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerte wiedergibt, d.h., jeder Eigenwert taucht in ihr so häufig auf, wie die Dimension des zugehörigen Eigenraums angibt.

Die Formeln (1)–(3) zeigen, wie ein selbstadjungierter Operator aus den einfachsten selbstadjungierten Operatoren, nämlich den Orthogonalprojektionen, zusammengesetzt wird; daher spricht man auch von der Spektralzerlegung von T.

Die Formeln (1)–(3) können äquivalent mittels der Spektralschar \begin{eqnarray}F(\lambda)=E((-\infty, \lambda ]\mathop{\cap}\limits^{}\sigma (T),\,\lambda \in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} ausgedrückt werden, beispielsweise \begin{eqnarray}\langle Tx,y\rangle =\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda \,\langle F(\lambda),x,y\rangle.\end{eqnarray} Eine Zahl λ ∈ ℝ ist genau dann ein Eigenwert von T, wenn F bei λ einen Sprung macht, d.h., wenn der Grenzwert bzgl. der starken Operatortopologie limε→0+ (F(λ) − F(λε)) von 0 verschieden ist. Ist T beschränkt, hat F einen kompakten Träger (im Sinn der Spektralscharen).

Neben der Integralform ist die Multiplikationsoperatorform des Spektralsatzes zu erwähnen. Diese besagt, daß jeder selbstadjungierte Operator zu einem Multiplikationsoperator auf einem geeigneten L2(μ)-Raum unitär äquivalent ist. Es existieren also ein Maßraum (Ω, Σ, μ), eine reellwertige meßbare Funktion h auf Ω und ein unitärer Operator U : HL2(μ) mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}(UTU^* f)(\omega)=h(\omega)f(\omega) & \text{f}.\mathrm{\ddot{u}}\text{.};\end{array}\end{eqnarray} für alle fL2(μ) mit hfL2(μ); mit T ist auch h beschränkt. Genauer gesagt existieren (endlich oder unendlich viele) Maße μi auf σ(T) der Form μi(A) = ⟨E(A)xi, xi⟩ für geeignete xiH, und es existiert ein unitärer Operator U: H → ⊕L2(μi) mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{(UTU^* f)}_{i}(\lambda)=\lambda {f}_{i}(\lambda) & \text{f}.\mathrm{\ddot{u}}\text{.}\end{array};\end{eqnarray} die Maße μi werden auch, wie das projektionswertige Maß E selbst, als Spektralmaße von T bezeichnet.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.