Teilgebiet der Funktionalanalysis, eine Verallgemeinerung der Eigenwerttheorie für Matrizen.

Sei T ein abgeschlossener linearer Operator in einem komplexen Banachraum X. Ein Eigenwert von T ist eine komplexe Zahl λ, für die ein Element x ≠ 0 mit Tx = λx existiert. Während diverse Eigenschaften von Matrizen an deren Eigenwerten abgelesen werden können, ist der Begriff des Eigenwerts im Unendlichdimensionalen i. allg. zu schwach; er muß durch den Begriff des Spektralwerts (Spektrum, Resolventenmenge) ersetzt werden: λ gehört zum Spektrum σ(T), wenn der Operator λ − T : = λ Id − T keine stetige Inverse besitzt. Zum Beispiel ist für den Multiplikationsoperator f ↦ hf auf dem Raum C[0, 1] das Spektrum genau der Wertebereich der stetigen Funktion h. Für einen beschränkten Operator ist σ(T) kompakt und nicht leer; genauer ist \begin{eqnarray}\mathop{\max}\limits_{\lambda \in \sigma (T)}|\lambda |=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}||{T}^{n}|{|}^{1/n}\end{eqnarray} (Spektralradius).

Die hauptsächliche Bedeutung der Spektraltheorie liegt in der Möglichkeit, Operatoren spektral zu zerlegen und einen Funktionalkalkül zu definieren. Ersteres gelingt insbesondere für selbstadjungierte (oder lediglich normale) Operatoren in Hilberträumen. Ist T ein solcher Operator, dann existiert ein projektionswertiges Maß E auf der Borel-σ-Algebra von σ(T) mit \begin{eqnarray}T=\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)\}}\rm\lambda \,d{E}_{\lambda};\end{eqnarray} dies ist der Inhalt des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren. Der Spektralkalkül gestattet es, Funktionen von T zu bilden.

Obwohl i. allg. zwischen Spektrum und Eigenwerten unterschieden werden muß, ist z. B. für kompakte Operatoren und p-summierende Operatoren jeder von 0 verschiedene Spektralwert ein Eigenwert, und das Spektrum bildet eine Nullfolge. Eine wichtige Frage ist dann, wie schnell die Eigenwertfolge gegen 0 konvergiert; vgl. hierzu Weyl-Ungleichung.

In größerer Allgemeinheit existieren die Begriffe Spektrum, Resolvente etc. auch für Elemente einer Banachalgebra mit Einheit; der Fall eines Operators entspricht dem Fall der Spektraltheorie bzgl. der Banachalgebra L(X) aller stetigen linearen Operatoren.

[1] Pedersen, G.K.: Analysis Now. Springer Berlin/Heidelberg, 1989.
[2] Pietsch, A.: Eigenvalues and s-Numbers. Cambridge University Press, 1987.
[3] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.
[4] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.