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Lexikon der Mathematik: Spektrum

Komplement der Resolventenmenge eines abgeschlossenen linearen Operators T in einem Banachraum.

Das Spektrum σ(T) von T ist eine abgeschlossene Teilmenge von ℂ; ist T stetig, so ist σ (T) beschränkt und nicht leer, und max{|λ| : λ ∈ σ(T)} stimmt mit dem Spektralradius von T überein.

Das Spektrum von T kann in drei disjunkte Teile aufgespalten werden, nämlich das Punktspektrum σp(T) = {λ : λ Id −T ist nicht injektiv}, das aus allen Eigenwerten von T besteht, das stetige Spektrum σc(T) = {λ : λ Id −T ist injektiv, nicht surjektiv und hat dichtes Bild}, und das Residualspektrum σr(T) = {λ : λ Id −T ist injektiv und hat kein dichtes Bild}. Für einen kompakten Operator auf einem unendlichdimensionalen Raum ist σ(T) = {0}∪σp(T), und füreinen selbstadjungierten Operator auf einem Hilbertraum ist \({\sigma}_{r}(T)=\varnothing \). Schließlich besteht das diskrete Spektrum aus den Eigenwerten endlicher Vielfachheit. In diesem Sinne bezeichnet das Spektrum einer (endlichen) Matrix die Menge ihrer Eigenwerte.

Für selbstadjungierte Operatoren existiert noch eine von dem obigen Begriff zu unterscheidende Version des stetigen Spektrums. Sei T : HD(T) → H selbstadjungiert, und seien ux(A) = ⟨E(A)x, x⟩, xH, die bzgl. der Spektralzerlegung von T gebildeten Maße auf ℝ (Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren). Sei weiterhin Hac = {xH : μx ist absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes} und σac(T) das Spektrum der Einschränkung von T auf Hac. Dann heißt σac(T) das absolutstetige Spektrum von T.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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