eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kugel(oberfläche) auf den n-dimensionalen Raum.

Die Sphäre vom Radius r > 0 ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit in ℝⁿ, definiert durch \begin{eqnarray}\{x=({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\in {{\mathbb{R}}}^{n}|\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{x}_{i}^{2}={r}^{2}\},\end{eqnarray} und wird meist bezeichnet mit Sⁿ⁻¹. Die Notation ist in der Literatur allerdings nicht ganz einheitlich, häufig wird auch die Einheitssphäre (also die Sphäre mit r = 1) mit Sⁱ⁻¹ bezeichnet. Die jeweils vorliegende Situation muß dem Zusammenhang entnommen werden.

Die Sphäre ist eine reell-analytische Mannigfaltigkeit. Der häufigste Spezialfall ist die dreidimensionale Sphäre. Siehe auch Hopf, Satz von.