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Lexikon der Mathematik: sphärisches Bild

die Bildmenge 𝔫(G) ⊆ S2 einer Teilmenge \(G\subset {\mathcal F} \) einer regulären Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) bei der Gauß-Abbildung \(\mathfrak{n}: {\mathcal F} \to {S}^{2}\) in die zweidimensionale Sphäre \begin{eqnarray}{S}^{2}=\{{\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{3};|{\mathfrak{x}}|=1\}.\end{eqnarray}

Die Gauß-Abbildung \({\mathfrak{n}}\) ist durch den vom Punkt \(x\in {\mathcal F} \) abhängenden Einheitsnormalenvektor gegeben. Das sphärische Bild enthält Informationen über das Krümmungsverhalten von \( {\mathcal F} \). So ist z. B. die Gauß-Abbildung einer Minimalfläche konform. Das Verhältnis des Flächeninhaltes eines kleinen, von vier Parameterlinien \( {\mathcal F} \) durch die Punkte \(P=P(u,v)\in {\mathcal F} \) und benachbarte Punkte P = P(u + Δu, v), P = P(u, v + Δv) sowie P = P(u + Δu, v + Δv) begrenzten krummlinigen Parallelogramms \({\mathcal{P}}\) zum Flächeninhalt des sphärischen Bildes \({\mathfrak{n}}({\mathcal{P}})\) ist angenähert gleich der Gaußschen Krümmung von \( {\mathcal F} \) im Punkt P, und im Grenzübergang (Δu)2 + (Δv)2 → 0 erhält man Gleichheit.

Für eine Kurve γ (s) in ℝ3 sind in analoger Weise das sphärische Tangentenbild \({\mathfrak{t}}(s)\), das sphärische Hauptnormalenbild \({\mathfrak{n}}(s)\) und das sphärische Binor-malenbild \({\mathfrak{b}}(s)\) definiert. Diese sind Raumkurven, die sich durch Abtragen des Einheitstangenten-, des Hauptnormalen- bzw. des Binormalenvektos der Kurve am Ursprung ergeben, und die ganz in der Sphäre S2 liegen. Sind \({s}_{{\mathfrak{t}}}(s)\) und \({s}_{{\mathfrak{b}}}(s)\) die Bogenlän-genfunktionen von \({\mathfrak{t}}(s)\) bzw. \({\mathfrak{b}}(s)\), so ergeben deren Ableitungen die Krümmung κ(s) bzw. Windung τ(s) von γ : \begin{eqnarray}\frac{d{s}_{{\mathfrak{t}}}(s)}{ds}=\kappa (s)\,\,\,\text{und}\ \ \text{}\ \frac{d{s}_{{\mathfrak{b}}}(s)}{ds}=\pm \tau (s).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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