ein nuklearer Operator zwischen Hilberträumen.

Sei T : H → K ein kompakter Operator mit der Schmidt-Darstellung (kompakter Operator) \begin{eqnarray}{T}_{x}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{s}_{n}\langle x,{e}_{n}\rangle {f}_{n}.\end{eqnarray} Genau dann ist T nuklear, wenn \(\displaystyle {\sum}_{n}{s}_{n}\lt \infty \) gilt, und diese Summe stimmt mit der nuklearen Norm von T überein.

Ist H = K, kann auf dem Raum N(H) aller nuklearen Operatoren ein Spurfunktional erklärt werden. Ist nämlich \(\{{\varphi}_{i}:i\in I\}\) eine Orthonormalbasis von H, so ist für T ∈ N(H) der Ausdruck \begin{eqnarray}\text{tr(}T\text{)=}\displaystyle \sum _{i\in I}\langle T{\varphi}_{i},{\varphi}_{i}\rangle \end{eqnarray} wohldefiniert und unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis. Man nennt tr(T) die Spur von T; tr ist ein stetiges lineares Funktional auf N(H) mit || tr || = 1, und es gilt tr(ST) = tr(TS) für T ∈ N(H), S ∈ L(H). Deshalb heißt N(H) auch die Spurklasse. Das Spurfunktional auf N(H) ist in mancher Hinsicht mit dem Summenfunktional auf ℓ¹ und dem Integrationsfunktional auf L¹(μ) vergleichbar. Daher wird N(H) auch als „nichtkommutativer L¹-Raum“ bezeichnet.

Die Eigenwertfolge (λ_n(T)) eines Spurklassenoperators T : H → H, in der die Eigenwerte in ihrer Vielfachheit aufgezählt sind, ist absolut summierbar; dies folgt aus der Weyl-Ungleichung. Ferner gilt die Spurformel von Lidskij: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\lambda}_{n}(T)=tr(T).\end{eqnarray}

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.
[2] Simon, B.: Trace Ideals and Their Applications. Cambridge University Press, 1979.