Teilmenge \begin{eqnarray}{W}^{s}({x}_{0}):=\{x|x\in M,\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}{f}^{n}(x)={x}_{0}\}\subset M\end{eqnarray} für eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M, einen C^k-Diffeomorphismus f : M → M und einen hyperbolischen Fixpunkt x₀ ∈ M von f.

\({W}^{u}({x}_{0}):=\{x|x\in M,{\mathrm{lim}}_{n\to \infty}{f}^{-n}(x)={x}_{0}\}\) heißt instabile Mannigfaltigkeit von f bei x₀. Diese Begriffsbildung dient zur Untersuchung des durch die iterierten Abbildungen von f gegeben diskreten dynamischen Systems. Ist F ∈ 𝒱^k(M) ein C^k-Vektorfeld auf M, so erzeugt es o.B.d.A. einen C^k Fluß \((M,{\mathbb{R}},\Phi).\). Für einen hyperbolischen Fixpunkt \({x}_{0}\in M\) des Vektorfeldes F heißen \begin{eqnarray}{W}^{s}({x}_{0}):=\{x\,|\,x\in M,\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty}\Phi (x,t)(x)={x}_{0}\}\end{eqnarray} bzw. \begin{eqnarray}{W}^{u}({x}_{0}):=\{x\,|\,x\in M,\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to -\infty}\Phi (x,t)(x)={x}_{0}\}\end{eqnarray} die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit von F bei x₀.

Für einen hyperbolischen Fixpunkt \({x}_{0}\in M\) eines Vektorfeldes F stimmen die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit überein mit der stabilen bzw. instabilen Mannigfaltigkeit des Zeit-1-Diffeomorphismus \(\Phi (\cdot, 1):M\to M.\) Daher kann man o.B.d.A. die (in)stabile Mannigfaltigkeit für einen C^k-Diffeomorphismus betrachten. Ist der Fixpunkt x₀ eines C^k-Diffeomorphismus f : M → M hyperbolisch, so existiert für das Differential \({d}_{x_0}f:{T}_{x_0}M\to {T}_{x_0}M\) eine eindeutige Zerlegung \({T}_{x_0}M={E}^{-}\oplus {E}^{+}\) mit den stabilen bzw. instabilen Teilräumen E^- und E⁺ (hyperbolische lineare Abbildung). Die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit \({W}^{-}({x}_{0})\) bzw. \({W}^{+}({x}_{0})\) sind invariante Mengen, welche injektive C^k-Immersionen von E⁻ bzw. E⁺ sind. Je nach der Dimension der Mannigfaltigkeiten W⁻(x₀)und W⁺(x₀) heißt ein hyperbolischer Fixpunkt Quelle, Senke, oder Sattelpunkt (Sattelpunkt eines Vektorfelds).

[1] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.