auf der σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) der Borelschen Mengen von \({\mathbb{R}}\) definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß μ mit der Eigenschaft, daß die Menge \({\mathcal{T}}(\mu)=\{{T}_{a,b}(\mu):a,b\in {\mathbb{R}},a\gt 0\}\) aller Bildmaße von μ unter Abbildungen \({T}_{a,b}:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) der Form T_a,b(x) = a_x + b mit je zwei Elementen ν₁, ν₂ auch deren Faltung ν₁ * ν₂ enthält.

Beispiele stabiler Verteilungen sind das Dirac-Maß, die Cauchy-Verteilung und die Normalver teilung. Da entweder sämtliche Verteilungen eines bestimmten Typs stabil oder instabil sind, spricht man auch von stabilen Verteilungstypen. Jede stabile Verteilung ist unbegrenzt teilbar. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht. Ist die Verteilung einer Zufallsgröße stabil, so nennt man auch die Zufallsgröße selbst, ihre Verteilungsfunktion und ihre charakteristische Funktion stabil. Eine Zufallsgröße X ist genau dann stabil, wenn für ihre charakteristische Funktion ϕ_X gilt \begin{eqnarray}\text{ln}\,{\phi}_{X}(t)=i\gamma t-c{|t|}^{\alpha}(1+i\beta \,\text{sgn}(t)\omega (t,\alpha)),\end{eqnarray} wobei \(\gamma \in {\mathbb{R}},c\ge 0,0\lt \alpha \le 2,-1\le \beta \le 1\) und \begin{eqnarray}\omega (t,\alpha)=\left\{\begin{array}{ll}\tan (\pi \alpha /2), & \text{falls}\, \alpha \ne \text{1,}\\ \frac{2}{\pi}\text{ln}\,|t|, & \text{falls}\, \alpha =\text{1}\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray} Die Zahl α heißt der charakteristische Exponent der stabilen Verteilung. Für die Normalverteilung gilt α = 2.

Die besondere Bedeutung der stabilen Verteilungen besteht darin, daß sich mit ihrer Hilfe die Grenzverteilungen von geeignet zentrierten und normierten Summen unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen charakterisieren lassen: Eine Zufallsgröße X ist im Sinne der Konvergenz in Verteilung genau dann der Grenzwert von Summen \begin{eqnarray}\frac{{X}_{1}+\cdots +{X}_{n}}{{a}_{n}}-{b}_{n}\,\,\,({a}_{n},{b}_{n}\in {\mathbb{R}},{a}_{n}\gt 0)\end{eqnarray}unabhängiger und identisch verteilter Summanden aus einer Folge \({({X}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}},}\), wenn sie stabil ist.

[1] Gnedenko, B.W.; Kolmogorov, A.N.: Grenzverteilungen von Summen unabhängiger Zufallsgrössen. Akademie-Verlag Berlin, 1959.