Verhalten der einem Einschrittverfahren zugeordneten Differenzengleichung zur näherungsweisen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Allgemein mißt man die Stabilität eines Einschrittverfahrens an der Modell-Anfangswertaufgabe \begin{eqnarray}{y}^{\prime}(x)=\lambda y(x),\,\,\,y(0)=1\end{eqnarray} mit festem \(\lambda \in {\mathbb{C}}.\) Führt das Einschrittverfahren \begin{eqnarray}{y}_{k+1}={y}_{k}+h\ \Phi ({x}_{k},{y}_{k};h)\end{eqnarray} für dieses Modellproblem auf eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}{y}_{k+1}=F(\lambda h){y}_{k},\end{eqnarray} dann bezeichnet man die Menge \begin{eqnarray}B:=\{\mu \in {\mathbb{C}}||F(\mu)| \lt 1\}\end{eqnarray} als Gebiet der absoluten Stabilität.

Als Stabilitätsbedingung ist daher zu fordern, daß für Re(λ) < 0 die Schrittweite h stets die Bedingung hλ ∈ B erfüllt. Damit wird garantiert, daß für abklingende Lösungen auch die Approximationen abklingen. Bei zu groß gewählter Schrittweite ist dies unter Umständen nicht mehr der Fall. Umfaßt hingegen für ein Einschrittverfahren die Menge B die gesamte linke komplexe Halbebene, so heißt das Verfahren insgesamt absolut stabil, weil keine Grenze an die Schrittweite zu beachten ist.

Neben der absoluten Stabilität werden in der Stabilitätstheorie auch noch andere Stabilitätsbegriffe betrachtet. Ein absolut stabiles Einschrittverfahren heißt beispielsweise stark absolut stabil, wenn für \begin{eqnarray}\mathrm{Re}(\mu)\to -\infty \,\, \text{stets}\,\, F(\mu)\to 0\end{eqnarray} gilt.