Ein unbestimmtes Integral der Form \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R({e}^{t})\,dt\end{eqnarray} kann umgeschrieben werden zu \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}{R}_{1}({e}^{t}){e}^{t}\,dt=\mathop{\mathop{\int}\limits^{{e}^{x}}}\limits_{}{R}_{1}(s)\,ds,\end{eqnarray} ist also zurückgeführt auf die Überlegungen zur Integration rationaler Funktionen. Hier und beim folgenden Typ bezeichnen R und R1 rationale Funktionen (einer Veränderlichen).
Stammfunktionen der Form \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}p(t)R({e}^{t})\,dt\,\,\,\,\,\,\,\,\,(p\,\rm Polynom)\end{eqnarray} behandelt man mit partieller Integration, wobei man das Polynom jeweils differenziert und so den Grad reduziert.
Für \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R(\cos t, \sin t)\,dt\end{eqnarray} mit einer rationalen Funktion R von zwei Variablen hat man eine allgemeine Methode, die immer funktioniert, jedoch oft nicht vorteilhaft ist: Man benutzt \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}\cos t & = & \cos \left(\displaystyle\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right) & = & \displaystyle\frac{{(\cos \frac{t}{2})}^{2}-{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}{{(\cos\frac{t}{2})}^{2}+{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}\\ & = & \displaystyle\frac{1-{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}{1+{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}, & & \end{array}\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}\sin t & = & \sin \left(\displaystyle\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right) & = & \displaystyle\frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{{(\cos\frac{t}{2})}^{2}+{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}\\ & = & \displaystyle\frac{2\,\tan\frac{t}{2}}{1+{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}, & & \end{array}\end{eqnarray} und substituiert \begin{eqnarray}s=\tan \frac{t}{2},\end{eqnarray} So erhält man t = 2 arctan s (evtl. nicht der Hauptzweig), \(\frac{dt}{ds}=\frac{2}{1+{s}^{2}}\) und somit für (1) \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\tan \frac{x}{2}}}\limits_{}R\left(\frac{1-{s}^{2}}{1+{s}^{2}},\frac{2s}{1+{s}^{2}}\right)\frac{2}{1+{S}^{2}}ds=\mathop{\mathop{\int}\limits^{\tan \frac{x}{2}}}\limits_{}{R}_{1}(s)ds\end{eqnarray} mit einer rationalen Funktion (einer Veränderlichen) R1. Also ist auch dieser Typ auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt.
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