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Lexikon der Mathematik: Stammfunktionen

auch unbestimmte Integrale, Funktionen, die eine gegebene Funktion als Ableitung haben.

Das Problem ist also die Umkehrung der Differentiation, genauer: Es sei j ein Intervall in \({\mathbb{R}}\) und \(f:j\to {\mathbb{R}}\) eine stetige Funktion. Gesucht ist eine differenzierbare Funktion \(f:j\to {\mathbb{R}}\) mit

\begin{eqnarray}F(x)=\mathop{\int}\limits^{x}f(t)\,dt\,\,\it(\unicode{x201e}unbestimmtes Integral\unicode{x201f})\end{eqnarray}

Dies ist allerdings keine Gleichung im üblichen Sinne, sondern notiert nur die Aussage: F ist eine Stammfunktion zu f. Aus \(\mathop{\int}\limits^{x}f(t)dt=F(x)\) und \(\mathop{\int}\limits^{x}f(t)dt=G(x)\) folgt nicht die Gleichheit von F und G, denn für eine Stammfunktion F zu f ist G genau dann Stammfunktion zu f, wenn FG konstant ist.

Die folgende erste Grundregel basiert unmittelbar auf der Linearität der Differentiation:

Sind \(f,g:j\to {\mathbb{R}}\)stetig und \(\alpha, \beta \in {\mathbb{R}},\)dann gilt \begin{eqnarray}\mathop{\int}\limits^{x}(\alpha f+\beta g)(t)dt=\alpha \mathop{\int}\limits^{x}f(t)dt+\beta \mathop{\int}\limits^{x}g(t)dt.\end{eqnarray}

In Worten: Man erhält eine Stammfunktion zu αf + βg, indem man eine Stammfunktion F zu f und eine Stammfunktion G zu g sucht, und dann αF + βG bildet („Linearität“).

Weitere wichtige Grundregeln sind die partielle Integration und die Substitutionsregeln.

Die Berechnung von Riemann-Integralen über die Definition ist meist viel zu aufwendig. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, daß Stammfunktionen ein sehr leistungsfähiges Hilfsmittel liefern und dieses Vorgehen für stetige Integranden prinzipiell immer möglich ist. Die Bedeutung dieses Satzes für die Mathematik und ihre Anwendungen kann kaum überschätzt werden; er verbindet die beiden zentralen – ursprünglich und von der Fragestellung her völlig getrennten – Gebiete der Analysis: Differential- und Integralrechnung.

Für\(-\infty \lt a\lt b\lt \infty, f:[a,b]\to {\mathbb{R}}\)und eine Stammfunktion F zu f gilt: \begin{eqnarray}\left.\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(t)dt=F(b)-F(a)=:F{(x)}\right \vert_{a}^{b}\end{eqnarray}

Eine wesentliche Aufgabe ist daher das kalkülmäßige Aufsuchen von Stammfunktionen für große Klassen von wichtigen Funktionen; siehe hierzu Stammfunktionen gewisser algebraischer Funktionen, Stammfunktionen gewisser transzendenter Funktionen.

Einige wichtige Stammfunktionen sind in einer Tabelle von Stammfunktionen aufgelistet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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