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Lexikon der Mathematik: starrer Körper

nach V.I.Arnold ein Hamiltonsches System auf dem Kotangentialbündel einer Lie-Gruppe G.

Bezeichnet man die Lie-Algebra von G mit \({\mathfrak{g}}\), so ist eine typische Hamilton-Funktion der Mechanik von folgender Form \begin{eqnarray}H(g,\alpha)=\frac{1}{2}{I}^{-1}(\alpha, \alpha)+V(g),\end{eqnarray} wobei \(H(g,\alpha)\in G\times {{\mathfrak{g}}}^{*}\cong {T}^{*}G,V\) eine reellwertige C-Funktion auf G bezeichnet, I eine positiv definite quadratische Form auf \({\mathfrak{g}}\) (den Trägheitstensor) anzeigt, und I−1 die entsprechende induzierte quadratische Form auf \({{\mathfrak{g}}}^{*}\) bedeutet.

In der Mechanik entspricht der Spezialfall der Gruppe G = SO(3), der Menge der eigentlichen Drehungen im ℝ3, der Dynamik eines an einem Punkt festgehaltenen starren Körpers. Die potentielle Energiefunktion V eines homogenen Schwerefeldes in Richtung eines Vektors \(\overrightarrow{e}\in {{\mathbb{R}}}^{3}\) wird durch \(V(g):=({g}^{-1}\overrightarrow{e},\overrightarrow{e})\) beschrieben, wobei (,) das Standardskalarprodukt im ℝ3 bedeutet. Die Abbildung \(g\mapsto {g}^{-1}\overrightarrow{e}=\gamma (g)\) wird auch als Poissonscher Vektor bezeichnet.

Ebenfalls auf V.I. Arnold geht die Interpretation der Hydrodynamik als starrer Körper auf der Gruppe aller derjenigen Diffeomorphismen einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zurück, die eine gegebene Volumenform invariant lassen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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