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Lexikon der Mathematik: statistische Ergodensätze

verallgemeinern die Gesetze der großen Zahlen auf Folgen nicht stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen, also auf stochastische Prozesse.

Es sei (X(t))tT ein stationärer stochastischer Prozeß mit reellem Zustandsraum und mit dem Erwartungswert EX(t) = μ für alle tT. Ein stationärer Prozeß (X(t))tT mit diskretem Zeitbereich T ⊆ ℤ heißt ergodisch, falls gilt: \begin{eqnarray}{Y}_{n}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{t=1}^{n}X(t)\to \mu \,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,n\to \infty,\end{eqnarray} wobei es sich um die Konvergenz im Mittel, die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder die fast sichere Konvergenz (Konvergenzarten für Folgen zufälliger Größen) handeln kann.

Analog wird ein stetiger stochastischer Prozeß (X(t))tT mit kontinuierlichem Zeitbereich T ⊆ ℝ ergodisch genannt, wenn gilt: \begin{eqnarray}{Y}_{T}=\frac{1}{T}\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int}}X(t)dt\to \mu \,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\, T \to \infty.\end{eqnarray} Die Ergodensätze befassen sich mit der Untersuchung von Voraussetzungen an den Prozeß (X(t))tT, unter denen er ergodisch ist. Es sei \begin{eqnarray}R(t)=E[X(t)-\mu)(X(0)-\mu ],t\in T\end{eqnarray} die Kovarianzfunktion von (X(t))tT. Es gelten folgende Sätze.

Satz 1. Ein diskreter stationärer Prozeß (X(t))tT⊆ℤist genau dann ergodisch (im Mittel), wenn für seine Kovarianzfunktion R(t) \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}R(t)=0\end{eqnarray}gilt.

Satz 2. Ein stetiger stationärer Prozeß (X(t))tT⊆ℝist genau dann ergodisch (im Mittel), wenn für seine Kovarianzfunktion R(t) \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T}\mathop{\mathop{\int}\limits^{T}}\limits_{t=0}R(t)dt=0\end{eqnarray}gilt.

Satz 3 (Satz von Birkhoff und Chintschin). Hat ein streng stationärer diskreter Prozeß (X(t))tT⊆ℤendliche Varianz \begin{eqnarray}R(0)=E|X(t)-\mu {|}^{2},\end{eqnarray}und gilt für ihre Kovarianzfunktion \begin{eqnarray}\mathop{lim}\limits_{t\to \infty}R(t)=0,\end{eqnarray}so konvergiert (Yn)n∈ℕmit Wahrscheinlichkeit 1 gegen μ, d. h. es gilt \begin{eqnarray}P\left(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}X(t)=\mu \right)=1.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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