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Lexikon der Mathematik: Stellenwertsystem

System zur Darstellung reeller Zahlen als Zeichenreihen über einem endlichen Alphabet, wobei der Wert eines Zeichens von seiner Stelle in der Zeichenreihe abhängt. Ein Stellenwertsystem ist somit ein Positionssystem (Zahlsystem).

Stellenwertsysteme zu fester Basis

Zu 2 ≤ b ∈ ℕ, genannt Basis oder Grundzahl des Stellenwertsystems, gibt es zu jedem x ∈ ℝ ein n ∈ ℕ0 sowie zu allen k ∈ ℤ mit kn natürliche Zahlen xk ∈ {0,…,b − 1} derart, daß \begin{eqnarray}x=\mathrm{sgn}\,x\cdot \mathop{\sum ^{n}}\limits_{k=-\infty}{x}_{k}\,{b}^{k}\end{eqnarray} gilt. Man vereinbart b verschiedene Symbole, genannt Ziffern, ordnet diese den natürlichen Zahlen 0,…,b − 1 zu, und schreibt (1) als \begin{eqnarray}x={\xi}_{n}\cdots {\xi}_{0}.{\xi}_{-1}\cdots\end{eqnarray} im Fall x ≥ 0 und als \begin{eqnarray}x=-{\xi}_{n}\cdots {\xi}_{0}.{\xi}_{-1}\cdots \end{eqnarray} im Fall x < 0, wobei ξn, ξn−1,… die zu den Zahlen xn, xn−1,… gehörenden Ziffern seien. Ist die Basis b nicht aus dem Zusammenhang ersichtlich, so muß sie (etwa durch einen angehängten Index) deutlich gemacht werden. ‚Führende Nullen‘ läßt man weg bzw. wählt n und die xk von vornherein so, daß xn ≠ 0 gilt im Fall n > 0.

Man nennt (2) bzw. (3) Darstellung zur Basis b, b-adische Darstellung oder einfach b-Darstellung und spricht auch vom b-adischen System oder einfach b-System (Zweiersystem, Dreiersystem, usw.). Statt eines Punktes wird in manchen (u. a. in deutschsprachigen) Ländern traditionell auch ein Komma benutzt. Man bezeichnet dieses Trennzeichen im Fall b = 10 (und nachlässig auch für andere b) als Dezimalpunkt bzw. Dezimalkomma. Eine Darstellung zur Basis 10 heißt auch Dezimalbruch und das Bestimmen einer solchen Darstellung zu einer gegebenen Zahl Dezimalbruchentwicklung. Die zur Bezeichnung „badisch“ führende Wahl der Variablen b ist natürlich willkürlich. Auch die Variable g und damit die Bezeichnung „g-adisch“ sind gebräuchlich (g-adische Entwicklung).

Für Basen b ≤ 10 werden üblicherweise die ersten b der zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 des indisch-arabischen Zahlensystems benutzt. Für größere Basen benutzt man entweder im Zehnersystem geschriebene natürliche Zahlen als ‚Ziffern‘ oder führt zusätzlich zu 0,…,9 weitere Ziffern ein. Für das Sechzehnersystem z. B. ordnet man den natürlichen Zahlen 10,…,15 die Buchstaben A,B,C,D,E,F zu. So gilt etwa \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}7\text{D2}{\text{.A}}_{16} & = & 7\cdot {16}^{2}+13\cdot 16+2+10\cdot {16}^{-1}\\ & = & {2002.625}_{10}.\end{array}\end{eqnarray}

Für x ∈ ℤ und Darstellungen mit xk = 0 für alle k < 0 läßt man den Teil rechts vom Dezimalpunkt auch weg und schreibt anstelle von (2) und (3) kürzer x = ξnξ0 bzw. x = −ξnξ0. Entsprechend läßt man aus einer Folge von lauter Nullen bestehende Endstücke von Darstellungen, die rechts vom Dezimalpunkt liegen, weg. Im b-adischen System besitzen genau diejenigen x ∈ ℝ eine solche abbrechende Darstellung, die ein ganzzahliges Vielfaches einer Potenz von \(\frac{1}{b}\) sind. Weiter besitzen rationale Zahlen und nur diese eine Darstellung, die abbricht oder zu einer endlosen Wiederholung der immer gleichen Zifferngruppe, genannt Periode, führt. Für eine Zahl mit einer Periode η1ηp rechts vom Dezimalpunkt schreibt man anstelle von \begin{eqnarray}{\xi}_{n}\cdots {\xi}_{0}.{\xi}_{-1}\cdots {\xi}_{-m}{\eta}_{1}\cdots {\eta}_{p}{\eta}_{1}\cdots {\eta}_{p}\cdots \end{eqnarray}

abgekürzt auch \begin{eqnarray}{\xi}_{n}\cdots {\xi}_{0}.{\xi}_{-1}\cdots {\xi}_{-m}\overline{{\eta}_{1}\cdots {\eta}_{p}}.\end{eqnarray}

Damit wird die rationale Zahl \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}x & = & \displaystyle \sum _{k=-m}^{n}{x}_{k}\,{b}^{k}+\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty}y\,{b}^{-(m+jp)}\\ & = & \displaystyle \sum _{k=-m}^{n}{x}_{k}\,{b}^{k}+\frac{y}{{b}^{p}-1}{b}^{-m},\end{array}\end{eqnarray}

dargestellt, wobei xk wieder die zur Ziffer ξk gehörende natürliche Zahl bezeichnet und y die durch die Zeichenreihe η1ηp dargestellte natürliche Zahl.

Für reelle Zahlen mit einer auf \(\overline{0}\) endenden, also abbrechenden, b-adischen Darstellung ist die Darstellung nicht eindeutig: Bezeichnet η die zu b − 1 gehörende Ziffer, so stellt z. B. die Zeichenreihe ξnξ0.1 die gleiche rationale Zahl dar wie die Zeichenreihe ξnξ0.0 \(\overline{\eta}\). Die Darstellung ist jedoch eindeutig, wenn man die Periode η ausschließt bzw. auf \(\overline{\eta}\) endende Zeichenreihen mit den die gleiche Zahl darstellenden abbrechenden Zeichenreihen identifiziert. Die Abbildung reeller Zahlen auf Zeichenreihen ohne Periode η ist also bijektiv. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1872) folgend, kann man daher die reellen Zahlen auch als solche Zeichenreihen definieren.

Gebräuchliche Stellenwertsysteme zu fester Basis

Das Zweiersystem wird auch auch als dyadisches System, Binärsystem oder Dualsystem bezeichnet. Es ist, weil es nur zwei Ziffern benötigt, die sich durch zwei Schaltzustände (‚an‘ und ‚aus) wiedergeben lassen, zur Grundlage digitaler elektronischer Rechner geworden. Eine Stelle wird in diesem Zusammenhang auch ein Bit genannt. Auch das Achtersystem, Oktalsystem genannt, und das Sechzehnersystem, als Sedezimalsystem oder Hexadezimalsystem bezeichnet, haben vor allem in diesem Zusammenhang Anwendung gefunden, weil sich mit ihrer Hilfe Dualzahlen kompakter wiedergeben lassen. Eine Ziffer im Oktalsystem entspricht drei, und eine Ziffer im Hexadezimalsystem vier Ziffern im Dualsystem. Die Zusammenfassung von vier Bits nennt man auch ein Nibble, und die Zusammenfassung von acht Bits ein Byte.

Das Zehnersystem, auch dekadisches System oder Dezimalsystem genannt, als das heute aus dem täglichen Gebrauch gewohnte Verfahren zur Zahlendarstellung ist zwischen 300 v. Chr. und 600 n. Chr. in Indien entstanden und verbreitete sich in Europa zwischen dem 13. und 16. Jahrhundert u. a. durch das zweite Rechenbuch von Adam Ries (1522). Die Benutzung der Zehn als Basis ist historisch vermutlich durch die zehn Finger des Menschen bedingt, wie sich auch die in manchen Kulturen verwendete Basis 20 durch das Zählen mit Fingern und Zehen erklären läßt.

Das Zwölfersystem oder Duodezimalsystem geht auf die Sumerer zurück und wird noch heute benutzt bei der Einteilung des Jahres in zwölf Monate und des Tages in 2 · 12 Stunden, sowie bei manchen Mengenangaben (z. B. ein Dutzend = zwölf Stück, ein Gros = zwölf Dutzend) sowie (vor allem im englischen Sprachraum) Maßen (z. B. ein Fuß = zwölf Zoll) und Gewichten (z. B. ein Pfund = zwölf Unzen). Seine Vorteile beim praktischen Rechnen mit natürlichen Zahlen beruhen auf der Tatsache, daß die Zahl 12 (verglichen mit der Zahl 10) sehr viele Teiler besitzt. Multiplikationen mit und Divisionen durch diese Teiler sind im Duodezimalsystem bequem auszuführen, und die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen durch diese Teiler und Produkte aus ihnen ist leicht zu untersuchen. Diese Vorteile haben im Zeitalter des elektronischen Rechnens zwar an Gewicht verloren, doch hätte es der Mensch beim Rechnen noch immer bequemer, wenn er mit zwölf Fingern ausgestattet wäre und deswegen von vornherein einheitlich das Duodezimalstatt des Dezimalsystems benutzt hätte.

Auch das Sechzigersystem oder Sexagesimalsystem stammt von den Sumerern und ist noch heute etwa bei der Einteilung der Stunde in 60 Minuten und der Minute in 60 Sekunden und auch bei der Einteilung des Kreises in 360 Grad gebräuchlich. Das Sexagesimalsystem bezieht seine Stärke ebenfalls aus den vielen Teilern seiner Grundzahl, die manche Multiplikationen, Divisionen und Teilbarkeitsuntersuchungen vereinfachen. Für spezielle Zwecke können auch Stellenwertsystem zu anderen Basen von Nutzen sein. Das Dreiersystem beispielsweise ist hilfreich zur Beschreibung der Cantor-Menge.

Ein guter Teil des klassischen Mathematikunterrichts in den Grundschulen besteht aus dem Lernen des Umgangs mit dezimalen Zeichenreihen. Bezeichnet Dez(x) die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl x, und sind a und b reelle Zahlen, so möchte man etwa aus den (gegebenen) Zeichenreihen Dez(a) und Dez(a) die Zeichenreihen Dez(a + b) und Dez(ab) ableiten. Dieser Vorgang ist landläufig als ‚Rechnen‘ bekannt. Laut Arnold Oberschelp gibt es das „weitverbreitete Vorurteil, dieses sei die einzige mathematische Tätigkeit“.

Stellenwertsysteme zu variabler Basis

Bei den obigen Stellenwertsystemen zu fester Basis b hat eine an der Stelle k stehende Ziffer den Wert xk bk mit einem xk ∈ {0, …, b − 1}. Die reelle Zahl x wird sozusagen nach der Basis (bk)k∈ℤ ‚entwickelt‘. Statt der Zahlen bk kann man auch eine Basis (bk)k∈ℤ, (bk)kn oder (bk)kn mit anderen (geeigneten) bk ∈ (0, ∞) betrachten und spricht

dann von einem Stellenwertsystem zur variablen oder gemischten Basis \begin{eqnarray}({b}_{k})=(\ldots, {b}_{2},{b}_{1},{b}_{0};{b}_{-1},{b}_{-2},\ldots).\end{eqnarray}

Derartige Systeme sind durchaus schon aus dem Alltag bekannt: Um Zeitspannen im Sekundenbis Tagebereich mit Sekundengenauigkeit anzugeben, kann man z. B. Sekunden, Minuten, Stunden und Tage benutzen, entsprechend einer Basis (bk) mit b0 = 1, b1 = 60, b2 = 3600, b3 = 86400 und bk = 0 für andere k, kurz (bk) = (86400, 3600, 60, 1;). Der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung von π besteht gerade aus einer Umwandlung von π aus der Darstellung im Stellenwertsystem zur variablen Basis (bk) = (1; 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, …) ins Dezimalsystem.

Als erster betrachtete im Jahr 1869 Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor allgemeine Stellenwertsysteme zu variabler Basis. Die Darstellung im Stellenwertsystem zu der zu einer Folge (gj) j≥1 natürlicher Zahlen gj ≥ 2 gebildeten Basis \begin{eqnarray}({b}_{k})=(1;1/{g}_{1},1/({g}_{1}{g}_{2}),1/({g}_{1}{g}_{2}{g}_{3}),\ldots)\end{eqnarray}

wird als Cantor-Entwicklung bezeichnet. Feste Basen b sind hierin als Spezialfall gj = b für alle j ∈ ℕ enthalten.

Es sei (bk)k∈ℤ eine streng isotone Folge reeller Zahlen mit limk→−∞bk = 0 und limk→∞bk = ∞, und (ck)k∈ℤ eine Folge natürlicher Zahlen. Dann gibt es nach einem Satz von Nathan Saul Mendelsohn genau dann für jedes reelle x > 0 ein n ∈ ℕ und zu allen ℤ ∋ kn natürliche Zahlen xk ∈ {0, …, ck} mit xn ≠ 0 und xk < ck für unendlich viele k und \begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{k=-\infty}^{n}{x}_{k}{b}_{k},\end{eqnarray}

wenn \begin{eqnarray}{b}_{n+1}=\displaystyle \sum _{k=-\infty}^{n}{c}_{k}{b}_{k}\end{eqnarray}

gilt für alle n ∈ ℤ.

[1] Bundschuh, P.: Einführung in die Zahlentheorie. Springer Berlin, 1998.
[2] Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, Volume 2. Addison-Wesley, 1998.
[3] Oberschelp, A.: Aufbau des Zahlensystems. Vandenhoeck Ruprecht Göttingen, 1976.
[4] Ries, A.: Das 2. Rechenbuch. Erfurt, 1522.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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