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Lexikon der Mathematik: stereographische Projektion

eine Abbildung φ der Kugeloberfläche \begin{eqnarray}{S}^{2}=\{({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})\in {{\mathbb{R}}}^{3}:{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}=1\}\end{eqnarray}

auf : \(\hat{{\mathbb{C}}}\) (Kompaktifizierung von ℂ), die wie folgt definiert ist: Jedes ξ = (x1, x2, x3) ∈ S2 \{N} wird vom „Nordpol“ N (0, 0, 1) aus stereographisch auf ℂ projiziert, d. h. ξ wird der Schnittpunkt φ(ξ) der Verbindungsgeraden von N und ξ mit ℂ zugeordnet. Dabei wird ℂ mit ℝ2 × {0} identifiziert. Man setzt noch φ(N) := ∞.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel stereographische Projektion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Stereographische Projektion

Die stereographische Projektion φ ist ein Homöomorphismus von S2 auf : \(\hat{{\mathbb{C}}}\). In Formeln schreibt sich φ als \begin{eqnarray}\phi (\xi)=\frac{{x}_{1}+i{x}_{2}}{1-{x}_{3}},\quad \xi \in {S}^{2}\backslash \{N\}.\end{eqnarray}

Für die Umkehrabbildung φ−1 von φ gilt mit z = x + iy ∈ ℂ \begin{eqnarray}{\phi}^{-1}(z)=\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}(2x,2y,{x}^{2}+{y}^{2}-1).\end{eqnarray}

Schreibt man S2 in der Form \begin{eqnarray}{S}^{2}=\{(w,t)\in {\mathbb{C}}\times {\mathbb{R}}:|w{|}^{2}+{t}^{2}=1\},\end{eqnarray}

so lauten diese Formeln \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\phi (w,t)=\displaystyle\frac{w}{1-t}, & (w,t)\ne (0,1)\end{array}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\phi}^{-1}(z)=\displaystyle\frac{1}{|z{|}^{2}+1}(2z,|z{|}^{2}-1), & z\in {\mathbb{C}}.\end{array}\end{eqnarray}

Im folgenden werden noch die Bilder einiger Teilmengen von S2 unter φ in der Form „Menge ↦ Bild“ angegeben:

  • Nordpol ↦ ∞; Südpol ↦ 0;
  • Südhalbkugel ↦ offene Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}\); Nordhalbkugel ↦Äußeres von \(\begin{eqnarray}\overline{{\mathbb{E}}}\end{eqnarray}\);
  • Äquator ↦Einheitskreislinie ∂\({\mathbb{E}}\);
  • Längenkreis ↦ Gerade durch 0; Breitenkreis ↦ Kreislinie mit Mittelpunkt 0;
  • Kreislinie durch N ↦ Gerade; Kreislinie, die nicht durch N geht ↦ Kreislinie.

Manche Autoren benutzen statt S2 die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt \((\text{0, 0,}\frac{\text{1}}{\text{2}})\) und Radius \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\). Der Nordpol N ist dann ebenfalls der Punkt (0, 0, 1). Die Formel für φ bleibt erhalten, und für φ−1 gilt mit z = x + iy ∈ ℂ \begin{eqnarray}{\phi}^{-1}(z)=\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}(x,y,{x}^{2}+{y}^{2}).\end{eqnarray}

Gelegentlich betrachtet man auch eine Verallgemeinerung der hier vorgestellten stereographischen Projektion auf den höherdimensionalen Fall, also eine konforme Abbildung eines Gebietes der n-dimensionalen Sphäre Sn, das durch Wegnehmen eines Punktes PSn entsteht, in den n-dimensionalen Raum ℝn.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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