eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung (Ableitung einer Funktion).

Eine Funktion heißt k-mal stetig differenzierbar, wenn sie k-mal differenzierbar und ihre k-te Ableitung stetig ist. Ist G ⊂ ℝⁿ offen, so ist f : ℝⁿ → ℝ^m genau dann stetig differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen f₁, …, f_m in C¹ (G) liegen.

Eine differenzierbare Funktion mit unstetiger Ableitung ist etwa f : ℝ → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{2}\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{f}{^{\prime}}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}.\right.\end{eqnarray}

Zwar ist f′ stetig in ℝ \ {0} und in der Umgebung von 0 beschränkt, doch an der Stelle 0 nicht stetig, weil f′ in jeder Umgebung von 0 zwischen −1 und 1 „pendelt“(s. Abb.).

Stetig differenzierbare Funktionen verhalten sich ‚gutartiger‘ als ‚nur‘ differenzierbare Funktionen, was sich etwa in der Vertauschbarkeit gemischter höherer partieller Ableitungen ausdrückt (Schwarz, Satz von).