ein zentraler Begriff der mathematischen Statistik.

Bei praktischen statistischen Überlegungen geht man i. allg. von einer Menge von Objekten aus und interessiert sich für ein bestimmtes zufälliges Merkmal (Zufallsgröße) X (oder einen Merkmalsvektor), genauer gesagt für die Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X von X in der Menge der betrachteten Objekte.

Es seien also X eine Zufallsgröße über dem Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, 𝔄, P] mit dem (meßbaren) Bildraum [M, \({\mathcal{M}}\)] und P_X die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf [M, \({\mathcal{M}}\)]. Als Grundgesamtheit bezeichnet man dann den zu X gehörenden statistischen Grundraum [M, \({\mathcal{M}}\), P_x ]. Falls X eine eindimensionale reellwertige Zufallsgröße ist, so sind M = ℝ¹ und \({\mathcal{M}}\) = ℬ¹ die σ-Algebra der Borel-Mengen aus ℝ¹.

Manchmal verwendet man auch die Bezeichnung Grundgesamtheit der Kürze wegen nur für die Menge der zugrundeliegenden Objekte oder für die Verteilung P_X, meint aber den gesamten statistischen Grundraum [M, \({\mathcal{M}}\), P_x ]. Spricht man beispielsweise von einer normalverteilten Grundgesamtheit, so meint man eine Menge von Objekten, an denen ein zufälliges Merkmal X beobachtet wird, welches in der Menge der Objekte eine Normalverteilung P_X = N(µ, σ²) besitzt.

Um Aufschluß über die Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X des zufälligen Merkmals X zu erhalten, wird an n der Grundgesamtheit nacheinander in zufälliger Weise entnommenen Objekten das interessierende Merkmal gemessen oder beobachtet. Das Tupel (x₁, x₂, …, x_n) der n Realisierungen von X bezeichnet man als konkrete Stichprobe von X, n nennt man Stichprobenumfang. Jede einzelne Realisierung x_i heißt Element der Stichprobe. Die einzelnen Elemente x_i können als i-te Realisierung der Zufallsgröße X aufgefaßt werden. Betrachtet man sie als zufällig, so gelangt man zum Begriff der mathematischen Stichprobe. Als mathematische Stichprobe bezeichnet man den zufälligen Vektor \(\overrightarrow{X}\) = (X₁, X₂, …, X_n), wobei alle X_i identisch zu X (alle X_i besitzen den gleichen statistischen Grundraum [M, \({\mathcal{M}}\), P_X ]) verteilt und untereinander stochastisch unabhängig sind. Der zu \(\overrightarrow{X}\) gehörende statistische Grundraum [M_(n), M_(n), \({P}_{\overrightarrow{X}}$] wird auch als Stichprobenraum bezeichnet.

Je nachdem, wie die Stichprobe (x₁, …, x_n) von X erhoben wird, unterscheidet man verschiedene Typen von Stichproben. Sind die x_i der Größe nach geordnet, so spricht man von einer geordneten Stichprobe. Wird die Grundgesamtheit von Objekten vollständig und überlappungsfrei in Teilpopula tionen (Schichten) aufgeteilt, und setzt sich die Gesamtstichprobe aus unabhängigen Stichproben aller Schichten zusammen, so spricht man von einer geschichteten Stichprobe.

Beim Vergleich der Verteilungen zweier Grundgesamtheiten wird aus jeder der beiden Grundgesamtheiten eine Stichprobe (x₁, …, x_n1) bzw. (y₁, …, y_n2) entnommen. Sind die Objekte, an denen die Stichprobendaten erhoben wurden, in beiden Stichproben gleich, so spricht man von verbundenen Stichproben, sind sie verschieden, so spricht man von unabhängigen Stichproben. Sind beispielsweise x_i und y_i die Reaktionszeiten einer Person i vor und nach einem Training (i = 1, …, n, n = n₁ = n₂), so handelt es sich um zwei verbundene Stichproben. Sind aber x_i die Reaktionszeiten von n₁ Männern und y_i die von n₂ Frauen, so handelt es sich um unabhängige Stichproben.