Statistiken, (meßbare) Funktionen der Variablen X₁, …, X_n einer mathematischen Stichprobe einer zufälligen Variablen X.

Ist T(X₁, …, X_n) eine Stichprobenfunktion der mathematischen Stichprobe (X₁, …, X_n), so erhält man für jede konkrete Realisierung (x₁, …, x_n) der Stichprobe einen konkreten Wert t = T(x₁, …, x_n) der Stichprobenfunktion. Stichprobenfunktionen werden als Parameterschätzungen oder als Teststatistiken in Hypothesentests (Testtheorie) verwendet. Sie sind damit von zentraler Bedeutung in der mathematischen Statistik und werden auch als Statistiken bezeichnet.

Wichtige Beispiele für Stichprobenfunktionen sind das arithmetische Mittel \begin{eqnarray}\overline{X}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\end{eqnarray}

und die Streuung \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2}.\end{eqnarray}

Für die Herleitung von Eigenschaften der Schätzungen und Testverfahren ist es notwendig, die Verteilungen der ihnen zugrundeliegenden Stichprobenfunktionen zu kennen. Unter der Voraussetzung, daß die Elemente X_i der Stichprobe (X₁, …, X_n) einer N(µ, σ²)-verteilten Grundgesamtheit entstammen, gilt: \begin{eqnarray}Y=\frac{(n-1){S}^{1}}{{\sigma}^{2}}\end{eqnarray}

besitzt eine χ² -Verteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden, und \begin{eqnarray}V=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\end{eqnarray}

unterliegt einer Studentschen t-Verteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden. Wird vorausgesetzt, daß die Elemente \({X}_{i}^{(k)}\) der mathematischen Stichproben \(({X}_{1}^{(k)},\ldots, {X}_{{n}_{k}}^{(k)})\,N({\mu}_{k},{\sigma}_{k}^{2})\) -verteilt sind (für k = 1, 2), so genügt das Verhältnis der jeweils aus den Stichproben gebildeten Streuungen \({S}_{(k)}^{2}\)\begin{eqnarray}W=\frac{{S}_{(1)}^{2}}{{S}_{(2)}^{2}}=\frac{({n}_{2}-1)\displaystyle {\sum}_{i=1}^{{n}_{1}}{({X}_{i}^{(1)}-\overline{{X}_{(1)}})}^{2}}{({n}_{1}-1)\displaystyle {\sum}_{i=1}^{{n}_{2}}{({X}_{i}^{(2)}-\overline{{X}_{(2)}})}^{2}}\end{eqnarray}

einer F-Verteilung mit (n₁ − 1; n₂ − 1) Freiheitsgraden.

Da die χ² –, die t- und die F-Verteilung Verteilungen wichtiger Stichprobenfunktionen sind, werden sie auch als Stichprobenverteilungen bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft von Stichprobenfunktionen bzw. Statistiken ist die sogenannte Suffizienz, siehe hierzu suffiziente Statistik.