Homologieklassen bzw. Kohomologieklassen auf Mannigfaltigkeiten, die Vektorbündeln zugeordnet werden können. Die (Ko-)Homologie besitzt hierbei Werte in 𝔽₂, dem Körper mit zwei Elementen.

Sei M eine n-dimensionale kompakte Mannigfaltigkeit. Die Stiefel-Klassen s_i ∈ H_i (M, 𝔽₂) für i = 0, 1, …, n − 1 werden unter Zuhilfenahme des Tangentialbündels wie folgt definiert. Seien für 1 ≤ m ≤ n, v₁, v₂, …, v_m globale Schnitte des Tangentialbündels, d. h. globale Vektorfelder, gewählt, für welche die Menge der Punkte x ∈ M, an denen die Schnitte linear abhängig sind, in einer (m − 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit liegen. Die Klasse s_m−1 ist definiert als das Element in der Homologie, welches durch diese Untermannigfaltigkeit repräsentiert wird. Die Stiefel-Klassen erlauben es zu bestimmen, für welche m es eine Kollektion von m globalen Vektorfeldern gibt, die an jedem Punkt von M linear unabhängig sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn \begin{eqnarray}{s}_{0}=0,{s}_{1}=0,\ldots, {s}_{m-1}=0\end{eqnarray}

gilt. Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist genau dann parallelisierbar, falls s_i = 0 für i = 0, 1, …, n − 1.

Die Whitney-Kohomologieklassen dehnen die Theorie auf beliebige Vektorbündel E aus: Es sind Elemente w_i(E) ∈ Hⁱ (M, 𝔽₂), i = 0, 1, …, n, wobei w₀(E) = 1 gesetzt wird. Benutzt man die Poincaré-Dualität (Poincaréscher Dualitätssatz) \begin{eqnarray}P:{\text{H}}^{i}(M,{{\mathbb{F}}}_{2})\to {\text{H}}_{n-i}(M,{{\mathbb{F}}}_{2}),\end{eqnarray}

so erhält man die Stiefel-Klasse als Spezialfall der Whitney-Klasse für das Tangentialbündel T_M : \begin{eqnarray}P({w}_{i}({T}_{M}))={s}_{n-i}.\end{eqnarray}

Daher bezeichnet man diese Klassen auch gemeinsam als Stiefel-Whitney-Klassen.

Die totale Stiefel-Whitney-Klasse eines Vektorbündels E ist das Element \begin{eqnarray}w(E)=1+{w}_{1}(E)+\cdots +{w}_{n}(E)\in \text{H}^*(M,{{\mathbb{F}}}_{2})\end{eqnarray}

des Kohomologierings von M. Für die Summe von Vektorbündeln gilt die Whitneysche Summenformel w(E ⊕ F) = w(E) · W (F).

Die totale Stiefel-Whitney-Klasse ist ein Homomorphismus des Grothendieck-Rings KO(M) der stetigen reellen Vektorbündel in die multiplikative Gruppe der Einheiten des Kohomologierings H^∗ (M, 𝔽₂).