Bezeichnung für die Verbindungskoeffizienten zwischen den Faktoriellen und der Standardbasis (Monombasis).

Genauer nennt man die Verbindungskoeffizienten zwischen den fallenden Faktoriellen und der Standardbasis Stirling-Zahlen erster Art: \begin{eqnarray}{[x]}_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{s}_{n,k}{x}^{k}\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀. Die Koeffizienten s_{n, k} heißen Stirling-Zahlen erster Art mit den Zusatzdefinitionen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{s}_{0,0} & = & 1,\\ {s}_{n,0} & = & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ & n \gt \text{}0,\\ {s}_{n,k} & = & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ & n \lt \text{}k.\end{array}\end{eqnarray}

Bei festem n haben die Stirling-Zahlen erster Art s_{n, k} alternierendes Vorzeichen. Auch die steigenden Faktoriellen können eindeutig linear mittels der Standardbasis mit Hilfe der Stirling-Zahlen erster Art augedrückt werden: \begin{eqnarray}{[x]}^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|{s}_{n,k}|{x}^{k}.\end{eqnarray}

Für die Stirling-Zahlen erster Art gelten folgende Rekursionsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{s}_{0,0}=1,{s}_{n,0}=0\quad \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ n\text{}\gt \text{}0,\\{s}_{n+1,k} = {s}_{n,k-1}-n{s}_{n,k},\\ {s}_{n+1,k} = \displaystyle \sum _{j=0}^{n}{(-1)}^{j}{[n]}_{j}{s}_{n-j,k-1}.\end{array}\end{eqnarray}

Die nachstehende Tabelle gibt die Stirling-Zahlen erster Art für n, k = 1, 2, 3, 4, 5 an:

Die Stirling-Zahlen erster Art geben die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge mit k Zyklen an. Beispielsweise gibt es s_{4, 2} = 11 Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4} mit 2 Zyklen: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\{\{1,3,2\},\{4\}\} & \{\{1,2,3\},\{4\}\}\\ \{\{1,4,2\},\{3\}\} & \{\{1,2,4\},\{3\}\}\\ \{\{1,2\},\{3,4\}\} & \{\{1,4,3\},\{2\}\}\\ \{\{1,3,4\},\{2\}\} & \{\{1,3\},\{2,4\}\}\\ \{\{1,4\},\{2,3\}\} & \{\{1\},\{2,4,3\}\}\\ \{\{1\},\{2,3,4\}\} & \end{array}\end{eqnarray}

Die Verbindungskoeffizienten zwischen der Standardbasis und den fallenden Faktoriellen sind die Stirling-Zahlen zweiter Art: \begin{eqnarray}{x}^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{S}_{n,k}{[x]}_{k}\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀. Die Koeffizienten S_{n, k} heißen Stirling-Zahlen zweiter Art mit den Zusatzdefinitionen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{S}_{0,0} & = & 1,\\ {S}_{n,0} & = & 0\quad \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\quad n\text{}\gt \text{}0.\end{array}\end{eqnarray}

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art gelten folgende Rekursionsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{S}_{0,0}=1,\quad {S}_{n,0}=0\quad \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ & n\text{}\gt \text{}0,\\{S}_{n+1,k} = {S}_{n,k-1}+k{S}_{n,k},\\ {S}_{n+1,k} = \displaystyle \sum _{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right){S}_{j,k-1}.\end{array}\end{eqnarray}

Die nachstehende Tabelle gibt die Stirling-Zahlen zweiter Art für n, k = 1, 2, 3, 4, 5 an:

Die Stirling-Zahlen zweiter Art geben die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge in k Blöcke an. Beispielsweise gibt es S_{3, 2} = 3 Partitionen einer 3-Menge {1, 2, 3} in 2 Blöcke: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\{\{1,2\},\{3\}\}, & \{\{1,3\},\{2\}\}, & \{\{1\},\{2,3\}\}.\end{array}\end{eqnarray}

Bei festem n ist die Summe der Stirling-Zahlen zweiter Art die Bell-Zahl B_n : \begin{eqnarray}{B}_{n}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{S}_{n,k}.\end{eqnarray}