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Lexikon der Mathematik: Stochastizität eines geodätischen Flusses

Eigenschaft des geodätischen Flusses einer Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung.

Es sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ϕt : T(M) → T(M) die eingliedrige Transformationsgruppe des geodätischen Flusses von M. Da die Niveaumannigfaltigkeiten \begin{eqnarray}{N}_{c}=\{(x,\xi)\in T(M);g(\xi, \xi)=c=\text{const}\}\end{eqnarray}

ebenfalls kompakt sind, ist ϕt ein für alle t ∈ ℝ definierter Diffeomorphismus von Nc. Hat M negative Schnittkrümmung, so gilt:

  • Fast alle Trajektorien ϕt (x, ξ) von Tangentialvektoren (x, ξ) ∈ Nc sind in Nc überall dicht. Die Punkte (x, ξ) ∈ Nc, für die ϕt (x, ξ) nicht überall dicht ist, bilden in Nc eine Menge vom Maß Null.
  • Der zeitliche Teil, in dem sich die Trajektorie ϕt (x, ξ) in einem beliebigen offenen Gebiet GNc aufhält, ist für fast alle (x, ξ) ∈ Nc proportional zum Volumen V von G (Eigenschaft der gleichmäßigen Verteilung).
  • Sind A und B zwei beliebige Gebiete in Nc, so ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty}\text{meas}\,({\varphi}_{t}(A)\cap B)=\text{meas}(A)\,\,\text{meas}(B),\end{eqnarray} wobei meas das normierte Volumen bezeichnet, d. h., das eindeutig durch die Riemannsche Metrik bestimmte Volumen, für das das Volumen der gesamten Mannigfaltigkeit Nc den Wert 1 hat (Eigenschaft der Mischung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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