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Lexikon der Mathematik: Stoppzeit

Markow-Zeit, bei gegebenem meßbaren Raum (Ω, 𝔄) und gegebener Filtration (𝔄t)tI in 𝔄 jede meßbare Abbildung T : Ω → I ∪{+∞} mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\{T\le t\}=\{\omega \in \Omega :T(\omega)\le t\}\in {{\mathfrak{A}}}_{t}\end{eqnarray}

für alle tI, wobei I die Menge ℕ0 oder die Menge \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) bezeichnet. Die Abbildung T heißt dann eine Stoppzeit bezüglich (𝔄t)tI. Gilt für alle tI lediglich {T < t} ∈ 𝔄t, so nennt man T eine Stoppzeit im weiteren Sinne oder Optionszeit bezüglich (𝔄t)tI.

Eine Stoppzeit ist stets eine Optionszeit. Umgekehrt ist eine Optionszeit genau dann eine Stoppzeit, wenn {T = t} ∈ 𝔄t für alle tI gilt. Insbesondere ist bei einer rechtsstetigen Filtration (𝔄t)t≥0 jede Optionszeit auch Stoppzeit. Ein Beispiel für eine Stoppzeit ist die Eintrittszeit TA in eine abgeschlossene Menge A ⊆ ℝ, wenn der zugrundeliegende reelle Prozeß (Xt)t≥0 der Filtration (𝔄t)t≥0 adaptiert und stetig ist. Sind S und T Stoppzeiten, so gilt dies auch für das häufig mit ST bezeichnete punktweise Minimum und das mit ST bezeichnete punktweise Maximum sowie die Summe S + T der Abbildungen.

Zu bemerken ist noch, daß die Terminologie in der Literatur nicht einheitlich gebraucht wird: So verwenden einige Autoren z. B. die Begriffe Stoppzeit und Optionszeit synonym für die hier als Optionszeiten definierten Abbildungen und nennen die hier als Stoppzeiten bezeichneten Abbildungen strenge Stopp- bzw. Optionszeiten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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