Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Strudelpunkt

(engl. focus), ein Fixpunkt x0W eines auf einer offenen Menge W ⊂ ℝ2 definierten Vektorfeldes f : W → ℝ2, dessen Linearisierung A = Df (x0) zwei konjugiert komplexe Eigenwerte α ± mit α, ω ≠ 0 besitzt.

A ist dann ähnlich zur Matrix \begin{eqnarray}B:=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\omega \\ \omega & \alpha \end{array}\right).\end{eqnarray}

Ist der Realteil α positiv bzw. negativ, so ist x0 instabiler bzw. asymptotisch stabiler Fixpunkt des linearisierten Systems, das durch die lineare Abbildung Df (x0); ℝ2 → ℝ2 gegeben ist. Da x0 hyperbolischer Fixpunkt ist, hat auch der Fixpunkt x0 von f diese Stabilität (Hartman-Grobman-Theorem). Sind die Eigenwerte von A rein imaginär (α = 0), so heißt x0 Wirbelpunkt. x0 ist dann stabiler, jedoch nicht asymptotisch stabiler Fixpunkt des linearisierten Systems. Es liegt dann kein hyperbolischer Fixpunkt vor; eine kleine Störung des Systems kann daher dazu führen, daß der Fixpunkt x0 von f (asymptotisch) stabil bzw. instabil wird. Daher kann in diesem Fall nicht auf die Stabilität des Fixpunktes x0 von f geschlossen werden. Die Phasenportraits sind in der Abbildung zu sehen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Strudelpunkt
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Asymptotisch stabiler (links) und instabiler (rechts) Strudelpunkt

Es gilt folgender Satz:

Sei fC1 (W, ℝ2) mit offenem 0 ∈ W ⊂ ℝ2. Falls der Fixpunkt 0 von f ein Wirbelpunkt der Linearisierung Df (0) ist, dann ist 0 ein Wirbelpunkt, ein Wirbel-Strudelpunkt oder ein Strudelpunkt von f.

[1] Perko, L.: Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag New York, 1996.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.