Problem, das sich mit den Eigenwerten λ und nichttrivialen Eigenfunktionen u des Sturm-Liouvilleschen Randwertproblems beschäftigt. Dabei ist \begin{eqnarray}Lu\text{}=\text{}f\text{}(x)\text{}=\text{}-\lambda r(x)u\end{eqnarray}

mit der positiven Gewichtsfunktion r.

Es gelten folgende grundlegende Aussagen:

Existenzsatz des Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblemes:

Zu dem betrachteten Eigenwertproblem gibt es unendlich viele reelle Eigenwerte \begin{eqnarray}{\lambda}_{\text{0}}\lt {\lambda}_{\text{1}}\lt \ldots \lt {\lambda}_{{n}}\to +\infty\quad f\ddot{u} r\quad n\to \infty.\end{eqnarray}

Trennungssatz des Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblemes:

Die zum Eigenwert λ_k gehörende Eigenfunktion u_k besitzt in [a, b] genau k einfache Nullstellen. Zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von u_k liegt eine solche von u_k+1.

Entwicklungssatz des Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblemes:

Die Eigenfunktionen bilden ein Orthogonalsystem. Man kann jede stetig differenzierbare Funktion f : [a, b] → ℝ, die die homogene Randbedingung erfüllt, in eine in [a, b] konvergente Reihe \(f(x)=\mathop{\sum ^{n}_{k=\infty}} {c}_{k}{u}_{k}(x)\)entwickeln. Sind die Eigenfunktionen normiert, so nennt man diese Reihe Fourier-Reihe, und für die Fourier-Koeffizienten c_k gilt: \begin{eqnarray}{c}_{k}=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}r(x)f(x){u}_{k}(x)dx.\end{eqnarray}

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1976.