eine Regel zur Bestimmung der Anzahl reeller Nullstellen eines reellen Polynoms.

Sei f (x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten ohne mehrfache Nullstellen. Ausgehend von dem Polynom f (x) =: f₀(x) und seiner Ableitung f′ (x) =: f₁(x) führt man den Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers aus: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{f}_{0}(x) & = & {q}_{1}(x){f}_{1}(x)-{f}_{2}(x),\\ {f}_{1}(x) & = & {q}_{2}(x){f}_{2}(x)-{f}_{3}(x),\\ & \vdots \vdots & \\ {f}_{n-2}(x) & = & {q}_{n-1}(x){f}_{n-1}(x)-{f}_{n}.\end{array}\end{eqnarray}

Der Algorithmus terminiert mit einem konstanten Polynom f_n ≠ 0, da f (x) keine mehrfachen Nullstellen hat. Die derart konstruierte Folge von Polynomen f₀, f₁, f₂, …, f_n heißt Sturmsche Kette.

Für a ∈ ℝ eine Zahl mit f (a) ≠ 0 bezeichne w(a) die Anzahl der Vorzeichenwechsel der Folge von Zahlen \begin{eqnarray}{f}_{0}(a),{f}_{1}(a),{f}_{2}(a),\ldots, {f}_{n-1}(a),{f}_{n},\end{eqnarray}

wobei die auftretenden Nullen ignoriert werden. Sind b < c Zahlen mit f (b) · f (c) ≠ 0, dann gilt: Es gibt im Intervall [b, c] genau w(b) − w(c) verschiedene reelle Nullstellen. Hierbei werden vielfache Nullstellen nur einmal gezählt.

Siehe auch Sturmsche Kette zur Lösung von Eigenwertproblemen.