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Lexikon der Mathematik: Subgradient

eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ableitung einer Funktion.

Es sei F : ℝn → ℝ und x0 ∈ R. Ein Vektor d ∈ ℝn heißt ein Subgradient von f in x0, falls für alle x ∈ℝn gilt: \begin{eqnarray}f(x)\ge f({x}_{0})+{d}^{T}\cdot (x-{x}_{0}).\end{eqnarray}

Die rechte Seite der Ungleichung entspricht formal der Taylor-Entwicklung von f um x0, wobei der Gradient von f in x0 durch d ersetzt ist; speziell muß f also nicht differenzierbar sein, um einen Subgradienten zu besitzen. Die Menge aller Subgradienten von f in x0 heißt Subdifferential von f in x0 und wird mit ∂f(x0) bezeichnet. Ist ∂f(x0) ≠ ∅ für alle x0 ∈ ℝn, so nennt man f subdifferenzierbar.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Subgradient
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Subdifferential: ∂f(x0) ist die Menge aller Vektoren durch f(x0), die im markierten Kegel verlaufen.

Konvexe Funktionen sind subdifferenzierbar. Ist eine Funktion f in x0 im klassischen Sinne differenzierbar, so ist ∂f(x0) gerade der eindeutige Gradientenvektor Df(x0).

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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