Lexikon der Mathematik: Subgradient
eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ableitung einer Funktion.
Es sei F : ℝn → ℝ und x0 ∈ R. Ein Vektor d ∈ ℝn heißt ein Subgradient von f in x0, falls für alle x ∈ℝn gilt:
Die rechte Seite der Ungleichung entspricht formal der Taylor-Entwicklung von f um x0, wobei der Gradient von f in x0 durch d ersetzt ist; speziell muß f also nicht differenzierbar sein, um einen Subgradienten zu besitzen. Die Menge aller Subgradienten von f in x0 heißt Subdifferential von f in x0 und wird mit ∂f(x0) bezeichnet. Ist ∂f(x0) ≠ ∅ für alle x0 ∈ ℝn, so nennt man f subdifferenzierbar.
Subdifferential: ∂f(x0) ist die Menge aller Vektoren durch f(x0), die im markierten Kegel verlaufen.
Konvexe Funktionen sind subdifferenzierbar. Ist eine Funktion f in x0 im klassischen Sinne differenzierbar, so ist ∂f(x0) gerade der eindeutige Gradientenvektor Df(x0).
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