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Lexikon der Mathematik: Supremum

obere Grenze, kleinste obere Schranke, Element mM einer Teilmenge A einer totalen Ordnung oder Halbordnung (M, ≤), das obere Schranke zu A ist, d. h. \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}m\text{}\ge \text{}A, & \text{also}\,m\ge a\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,a\text{}\in \text{}A,\end{array}\end{eqnarray}

und das minimal mit dieser Eigenschaft ist, d. h. \begin{eqnarray}M\,{\unicode {8717}}\,x\ge \text{}A\Rightarrow x\ge m.\end{eqnarray}

Das Supremum ist demnach die kleinste obere Schranke der Teilmenge M, vorausgesetzt, daß eine solche kleinste obere Schranke existiert.

Eine Menge besitzt höchstens ein Supremum. Falls A ein Supremum besitzt, bezeichnet man dieses mit sup A. Auch in totalen Ordnungen kann es Mengen ohne Supremum geben, z. B. das Intervall \([0,\sqrt{2})\) in ℚ oder das Intervall [0, ∞) in ℝ. Hat A keine obere Schranke, so schreibt man häufig sup A = ∞, und meist vereinbart man sup ∅=−∞. Falls A ein Supremum besitzt und sup AA gilt, so gilt sup A = max A, d. h. dann ist das Supremum von A gerade das Maximum von A. (Siehe auch Ordnungsrelation).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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