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Lexikon der Mathematik: Sylvester, Trägheitssatz von

lautet:

Es sei V ein n-dimensionaler reeller (komplexer) Vektorraum, b : V × V → ℝ (ℂ) eine symmetrische Bilinearform (Hermitesche Form) auf V, und B = (b1, …, bn) eine Basis von V. Weiter sei A = (b(bi, bj)) die b repräsentierende Matrix.

Dann sind die Anzahl der positiven Eigenwerte von A, bezeichnet mit p, und die Anzahl der negativen Eigenwerte von A, bezeichnet mit n, unabhängig von der Wahl der Basis B. Insbesondere gibt es eine Basis B′ von V, bzgl. derer die b repräsentierende Matrix \({A}^{\prime}=({a}_{ji}^{\prime})\)Diagonalgestalt hat mit \({a}_{11}^{\prime}=\cdots ={a}_{pp}^{\prime}=1,{a}_{p+1,p+1}^{\prime}=\cdots ={a}_{p+n,p+n}^{\prime}=-1\), und \({a}_{ji}^{\prime}=0\)sonst.

Eine andere Formulierung lautet:

Jede symmetrische reelle Matrix A ist zu einer eindeutig bestimmten Diagonalmatrix D der Form D = diag(1, …, 1, −1, …, −1, 0…, 0) ähnlich,

h., es existiert eine reguläre Matrix C mit \begin{eqnarray}{C}^{t}AC=D.\end{eqnarray}

Dabei ist die Anzahl des Auftretens der Zahlen 1 und −1 in D durch A eindeutig bestimmt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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