symmetrisches Polynom, Funktion f : R^r → R über einem Ring mit Einselement, definiert durch \begin{eqnarray}({x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{r})\mapsto f({x}_{1},{x}_{2},\ldots,{x}_{r})\end{eqnarray}

mit der Eigenschaft, daß \begin{eqnarray}f({x}_{g({x}_{1})},\ {x}_{g({x}_{2})},\ldots,\ {x}_{g({x}_{r})})\ =\ f({x}_{1},{x}_{2},\ldots,{x}_{r})\end{eqnarray}

für alle Permutationen g ∈ S_r gilt.

Standardbeispiele für symmetrische Funktionen sind die konstanten Funktionen, die elementarsymmetrischen Funktionen \begin{eqnarray}{a}_{n}({x}_{1},{x}_{2},\ldots {x}_{r})=\displaystyle \sum _{{x}_{1}\lt {x}_{2}\lt \cdots \lt {x}_{n}}{x}_{{i}_{1}}{x}_{{i}_{2}}\cdots {x}_{{i}_{n}},\end{eqnarray}

summiert über alle \(\left(\begin{array}{c}r\\ b\end{array}\right)\) möglichen Produkte, n = 1, 2, …, r, und die Potenzfunktionen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{S}_{n}({x}_{1},{x}_{2},\ldots, x_{r})=\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{x}_{i}^{n}, & n\in {\mathbb{N}}.\end{array}\end{eqnarray}

Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen besagt, daß jedes symmetrische Polynom f (x₁, x₂, …, x_r) eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen a₁, a₂, … über demselben Ring dargestellt werden kann, d. h., daß die elementarsymmetrischen Funktionen eine Basis bilden. Es gilt z. B. \begin{eqnarray}{s}_{4}={a}_{1}^{4}-4{a}_{1}^{2}{a}_{2}+2{a}_{2}^{2}+4{a}_{1}{a}_{3}-{a}_{4}\end{eqnarray}

für jede Zahl r von Variablen. Umgekehrt kann jede elementarsymmetrische Funktion a_n mittels der Potenzfunktionen s_k eindeutig linear dargestellt werden. Für jede elementarsymmetrische Funktion a_n(x₁, x₂, …, x_r) gilt nämlich die Waringsche Formel \begin{eqnarray}{a}_{n}({x}_{1},{x}_{2},\ldots,{x}_{r})=\sum _{\begin{array}{c}({b}_{1},{b}_{2},\ldots,{b}_{n})\\ {\sum}_{i}^{n}i{b}_{i}=n\end{array}}\frac{{(-1)}^{n-{\sum}_{i=1}^{n}{b}_{i}}}{{\prod}_{i=1}^{n}{b}_{\iota}!{\prod}_{i=1}^{n}i{b}_{\iota}}{s}_{1}^{{b}_{1}}{s}_{2}^{{b}_{2}}\cdots {s}_{n}^{bn}\end{eqnarray}

mit s_k = s_k(x₁, x₂, …, x_r).